引言

本文研究非齐次Schrödinger-Poisson系统

$ \begin{cases}-\Delta u+V(x) u+\phi(x) u=f(u)+g(x), & x \in R^{3} \\ -\Delta \phi=u^{2}, & x \in R^{3}\end{cases} $

(1)

式中V(x)和ϕ(x)分别表示有效势和电势。系统(1)首先在文献[1]中被提出，用于描述三维空间中与静电场相互作用的非线性Schrödinger方程的驻波，f(u)用于模拟多个粒子间的相互作用，g(x)为非齐次扰动。

近年来，在对非线性项和位势条件进行的各种假设下，系统(1)受到广泛研究^[2-10]。文献[2]、[4]的研究表明，f(u)关于u的增长阶p的范围会对泛函的紧性和解的存在性产生影响。

当位势函数为常数时，Ruiz^[4]研究了带有参数的一类自治Schrödinger-Poisson方程

$ \begin{cases}-\Delta u+u+\lambda \phi u=|u|^{p-2} u, & x \in R^{3} \\ -\Delta \phi=u^{2}, & x \in R^{3}\end{cases} $

式中，λ>0, 2 < p < 6。进一步，Ambrosetti等^[2]证明了该系统的多解性。当g(x)≡0, f(u)=|u|^p－2u, 4≤p < 6时，D'Aprile等^[3]利用山路定理证明了系统(1)存在径向对称的正解。当位势函数不为常数时，目前的研究多局限于非线性项f(u)的增长性介于4≤p < 6的情形^[5-9]。2006年Salvatore^[5]证明了在f(u)=|u|^p－2u, 4≤p < 6时系统(1)的多解性，Yang等^[9]研究了系统(1)对任意的g(x)∈L²(R³)具有一趋于无穷大的临界值序列。

本文对一般的非线性项f(u)以及位势函数V(x), 研究系统(1)解的存在性和多解性。特别地，允许f(u)的增长性包含3 < p < 4的情形；并在f(u)为奇函数时，研究系统(1)无穷多解的存在性。

1 定理的提出

设势函数V(x)∈C(R³, R)满足：

(V₁) V(x)=V(|x|)；

(V₂) $\inf\limits _{x \in R^{3}}$ V(x)>0；

(V₃)2V(x)+($\nabla $V(x), x)≥0, 几乎处处x∈R³,

其中(·, ·)表示R³的内积。

设g(x)∈C¹(R³, R)∩L²(R³, R)为非负函数，满足：

(g₁) g(x)=g(|x|)$\not \equiv$0；

(g₂) ($\nabla $g(x), x)∈L²(R³)。

这里(V₁)和(g₁)为函数满足径向对称的条件。

对非线性项f(u)∈C(R, R), 设

(f₁) f(0)=f ′(0)=0；

(f₂) $\exists $C>0，使得|f(u)|≤C(|u|+|u|^p), ∀u∈R, 其中p∈(2, 5)；

(f₃) $\exists $θ>3，使得0≤θF(u)≤uf(u), ∀u∈R, 其中F(u)=$\int_{0}^{u} f(s) \mathrm{d} s$。

为了描述结果，给出一些记号。设H和D分别表示H¹(R³)和D^{1, 2}(R³)={u∈L⁶(R³): |$\nabla $u|∈ L²(R³)}的径向对称函数子空间，范数分别记为‖u‖= $\left[\int\left(|\nabla u|^{2}+V(x) u^{2}\right) \mathrm{d} x\right]^{1 / 2}, \|u\|_{D}=\left(\int|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{1 / 2}$，用L^p表示通常的L^p(R³)空间，范数记为‖·‖_p。弱收敛记为“$\rightharpoonup$”，强收敛记为“→”，$\int_{{R^3}} {{\rm{d}}x} $记为∫dx；C (或C₁, C₂, C′, …)表示正常数。

本文的主要结果是如下定理。

定理1   设(V₁)~(V₃)、(f₁)~(f₃)和(g₁)~(g₂)成立，则存在C_p>0，当‖g‖₂ < C_p时，系统(1)在H×D中至少存在一负能量解(u₀, ϕ_u0)和一正能量解(u₁, ϕ_u1)。

为获得无穷多解的存在性，设V(x)∈C(R³, R) 且(V₄)$\inf \limits_{x \in R^{3}} V(x)>0, \lim \limits_{|x| \rightarrow+\infty} V(x)=+\infty$。

进一步对非线性项f(u)，设

(f₄) f(－u)=－f(u), ∀u∈R；

(f₅) $\exists $θ>4，使得0≤θF(u)≤uf(u), ∀u∈R。

此时引入空间${H_V}: = \left\{ {u \in {H^1}\left({{R^3}} \right): \int V (x){u^2} < \infty } \right\}$。根据文献[11], H_V紧嵌入至L^p(R³)，其中2≤p < 6。

定理2  设(V₄)、(f₁)~(f₂)和(f₄)~(f₅)成立，则对任意的g(x)∈L²(R³)，系统(1)在H_V×D中存在无穷多解。

本文利用变分法进行证明。由于p的范围会对泛函的几何结构和紧性条件产生影响，当3 < p < 4时，Palais-Smale序列((P.S)序列)有界性难以验证，因此我们采用单调性方法结合Pohozaev恒等式，构造特殊的(P.S)序列，获得解的存在性。在H_V空间中，由于H_V紧嵌入到L²(R³)^[10]，可借助特征值问题获得空间分解，从而利用非偶泛函的临界点定理^[11]获得无穷多解的存在性。

2 变分框架及预备引理

首先将系统(1)转化为单个方程^[4]。对任意的u∈H¹(R³)，可得到方程－Δϕ=u²在空间D^{1, 2}(R³)中的唯一解ϕ_u，此解可表示为

$ \phi_{u}(x)=\frac{1}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \int \frac{u^{2}(y)}{|x-y|} \mathrm{d} y $

将ϕ_u带入到系统(1)的第一个方程，得

$ -\Delta u+V(x) u+\phi_{u}(x) u=f(u)+g(x) $

于是定义变分泛函为I：H→R

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ I(u)=\frac{1}{2} \int\left[|\nabla u|^{2}+V(x) u^{2}\right] \mathrm{d} x+ \\ \frac{1}{4} \int \phi_{u} u^{2} \mathrm{~d} x-\int F(u) \mathrm{d} x-\int g(x) u \mathrm{d} x \end{array} $

(2)

根据文献[1]中的命题4，易证I∈C¹(E, R)和(u, ϕ)∈H×D是方程(1)的解当且仅当u∈H是I的临界点，且ϕ=ϕ_u。引理1收集了ϕ_u的一些性质^[4]。

引理1

(Ⅰ)对任意的u∈H，ϕ_u(x)≥0, x∈R³；

(Ⅱ)存在常数C>0，使得‖ϕ_u‖_D≤C‖u‖²，而且存在常数C >0，使得$\int\left|\nabla \phi_{u}\right|^{2} \mathrm{~d} x=\int \phi_{u} u^{2} \mathrm{~d} x \leqslant$$\bar{C}\|u\|^{4}$；

(Ⅲ) 对t>0，有ϕ_vt(x)=t²ϕ_v(tx)，其中v_t(x)= t²v(tx)；

(Ⅳ)若在H中u_n$\rightharpoonup$u，则在D中ϕ_un→ϕ_u。

3 定理1的证明

定理1的证明分为两步：一是通过Ekeland’s变分原理证明其负能量解存在；二是通过结合单调性方法的山路定理证明其正能量解存在。

由(f₁)~(f₂)知，对任意ε>0，存在C_ε>C，使得

$ |f(u)|<\varepsilon|u|+C_{\varepsilon}|u|^{p} $

(3)

由(f₃)知，存在C>0，使得

$ F(u) \geqslant C|u|^{\theta}, \theta>3 $

(4)

引理2   设(f₁)~(f₂)成立，则存在C_p>0，t₀>0和ρ₀>0，使得当‖g‖₂ < C_p时，对任意满足‖u‖= t₀的u∈H，有I(u)≥ρ₀。

证明   由式(3)可知

$ \begin{array}{l} \int F(u) \mathrm{d} x \leqslant \frac{\varepsilon}{2}\|u\|_{2}^{2}+\frac{C_{\varepsilon}}{(p+1)}\|u\|_{p+1}^{p+1} \leqslant \frac{1}{4}\cdot\\ \|u\|^{2}+\frac{C}{(p+1) S^{p+1}}\|u\|^{p+1} \end{array} $

式中S为H嵌入到L^p(R³)的最佳Sobolev常数，故对任意的u∈H，有

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ I(u) \geqslant \frac{1}{4}\|u\|^{2}-\frac{C}{(p+1) S^{p+1}}\|u\|^{p+1}-\|g\|_{2} \cdot \\ \|u\|_{2}=\|u\|\left(\frac{1}{4}\|u\|-\frac{C}{(p+1) S^{p+1}}\|u\|^{p}-\right. \\ \left.\|g\|_{2}\right)。\end{array} $

令A(t)=t/4－Ct^p/[(p+1)S^p+1]，t≥0，则A(t)在[0, +∞)存在最大值。

令$C_{p}: =\max \limits_{t \geqslant 0} A(t)$，设$A\left(t_{0}\right)=\max \limits_{t \geqslant 0} A(t)$，则t₀=[(p+1)S^p+1/(4Cp)]^1/(p－1)。

当‖g‖₂ < C_p时，有ρ₀=t₀(A(t₀)－‖g‖₂)>0，使得对任意满足‖u‖=t₀的u，I(u)≥ρ₀成立。证毕。

引理3   设(f₃)和(g₁)成立，令c₀=inf{I(u): u∈B_t0}，其中B_t0={u∈H: ‖u‖≤t₀}，则c₀ < 0，且存在u₀∈H，使得I(u₀)=c₀。

证明   由(g₁)，取v∈H，使得∫g(x)vdx>0。令v_t(x)=t²v(tx)，由引理1得

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ I\left(v_{t}\right)=\frac{t^{3}}{2} \int|\nabla v|^{2} \mathrm{~d} x+\frac{t}{2} \int V(x) v^{2} \mathrm{~d} x+ \\ \frac{t^{3}}{4} \int \phi_{v} v^{2} \mathrm{d} x-C t^{2 \theta-3} \int v^{2 \theta} \mathrm{d} x-t^{2} \int g(x) v \mathrm{d} x \end{array} $

又因为当t < 1时，$\left\|t^{2} v(t x)\right\|^{2}=t^{3} \int|\nabla v|^{2} \mathrm{~d} x+$$t \int v^{2} \mathrm{~d} x \leqslant t\|v\|^{2}$, 故当t充分小时，v_t∈B_t0，从而c₀ < I(v_t) < 0。

由Ekeland’s变分原理易得序列{u_n}⊂B_t0满足

(Ⅰ)I(u_n)→c₀；

(Ⅱ)I′(u_n)→0，在H^-1中(H^-1为H的对偶空间)。

因为{u_n}⊂B_t0，显然有界，则{u_n}是泛函I的一列有界(P.S)序列。

由H嵌入到L^p(2 < p < 6)的紧性，利用文献[4]中的方法，易知存在u₀∈H使得u_n→u₀。故I(u₀)=c₀且I′(u₀)=0。证毕。

易知F(u)的增长性在(3, 6)之间，当θ∈(4, 6)时容易证明泛函(P.S)序列的有界性，但在θ∈(3, 4)时难以证明(P.S)序列是有界的，所以我们引用如下单调性方法来构造θ∈(3, 4)时的泛函的特殊(P.S)序列。

命题1 (L.Jeanjean's引理^[12])  假设(H, ‖ · ‖) 为Banach空间，J∈R⁺是一个区间，(Φ_μ)_μ∈J是定义在空间H上的一列C¹泛函并且有如下形式

$ \varPhi_{\mu}(u)=A(u)-\mu B(u), \forall \mu \in J $

式中，B(u)≥0，∀u∈H。当‖u‖→∞时，B(u)→+∞或者A(u)→+∞。如果存在v₁、v₂∈H，使得对任意的μ∈J，有

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} c(\mu ): = \mathop {\inf }\limits_{\gamma \in \mathit{\Gamma }} \mathop {\max }\limits_{t \in [0,1]} {\mathit{\Phi }_\mu }(\gamma (t)) > \max \left\{ {{\mathit{\Phi }_\mu }\left( {{v_1}} \right),} \right.\\ \left. {{\mathit{\Phi }_\mu }\left( {{v_2}} \right)} \right\} \end{array} $

式中，Γ={γ∈C([0, 1], H): γ(0)=v₁, γ(1)=v₂}则对几乎处处的μ∈J，存在序列{v_n}⊂H满足：

(Ⅰ){v_n}是有界的；

(Ⅱ)Φ_μ(v_n)→c(μ)；

(Ⅲ)在H的对偶空间中Φ′_μ(v_n)→0。

为应用命题1寻找系统(1)的正能量解，构造近似问题

$ \begin{cases}-\Delta u+V(x) u+\phi(x) u=\mu f(u)+g(x), & x \in R^{3} \\ -\Delta \phi=u^{2}, & x \in R^{3}\end{cases} $

其中μ∈[1/2, 1]。取J=[1/2, 1]，定义Φ_μ(u): H→R, Φ_μ(u)=A(u)－μB(u), 其中A(u)= $\frac{1}{2} \int\left[|\nabla u|^{2}+V(x) u^{2}\right] \mathrm{d} x+\frac{1}{4} \int \phi_{u} u^{2} \mathrm{~d} x-\int g(x)$$ \cdot u \mathrm{~d} x, B(u)=\int F(u) \mathrm{d} x$, 则(Φ_μ)_μ∈J是定义在H上的一列C¹-泛函，对任意的u∈H有B(u)≥0，当‖u‖→∞时，有

$ A(u) \geqslant \frac{1}{2}\|u\|^{2}-\|g\|_{2}\|u\| \rightarrow \infty $

引理4   设(g₁)成立，则

(Ⅰ)存在ρ₀、t₀>0和满足‖e‖>t₀的函数e∈H使得对任意的‖u‖=t₀, Φ_μ(u)≥ρ₀成立；Φ_μ(e) < 0, 其中μ∈[1/2, 1]；

(Ⅱ)对任意的μ∈[1/2, 1]，有

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {c_\mu }: = \mathop {\inf }\limits_{\gamma \in \mathit{\Gamma }} \mathop {\max }\limits_{t \in [0,1]} {\mathit{\Phi }_\mu }(\gamma (t)) > \max \left\{ {{\mathit{\Phi }_\mu }\left( 0 \right),} \right.\\ \left. {{\mathit{\Phi }_\mu }\left( e \right)} \right\} \end{array} $

式中Γ={γ∈C([0, 1], H): γ(0)=0, γ(1)=e}。

证明

(Ⅰ) 显然Φ_μ(u)≥Φ₁(u)对u∈H和μ∈[1/2, 1]恒成立。由引理2知，存在与μ∈[1/2, 1]无关的常数ρ₀>0和t₀>0，使得对任意的‖u‖=t₀，不等式Φ₁(u)≥ρ₀成立。取w∈H，使∫g(x)wdx>0，令w_t(x)=t²w(tx)，t>0。则对任意的μ∈[1/2, 1]，有

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \varPhi_{\mu}\left(w_{t}\right) \leqslant \frac{1}{2} \int\left[\left|\nabla w_{t}\right|^{2}+V(x) w_{t}^{2}\right] \mathrm{d} x+\frac{1}{4} \int \phi_{w_{t}} \cdot\\ w_{t}^{2} \mathrm{~d} x-\int g(x) w_{t} \mathrm{~d} x-\mu \int F\left(w_{t}\right) \mathrm{d} x \leqslant \frac{t^{3}}{2} \int|\nabla w|^{2} \mathrm{~d} x+ \\ \frac{t}{2} \int V(x) w^{2} \mathrm{~d} x+\frac{t^{3}}{4} \int \phi_{w} w^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} C t^{2 \theta-3} \int|w|^{\theta} \mathrm{d} x \end{array} $

注意到θ>3，存在与μ∈[1/2, 1]无关且充分大的常数t₀>0，使得Φ_μ(w_t0) < 0对μ∈[1/2, 1]一致成立。所以取e=w_t0，(Ⅰ)得证。

(Ⅱ)由c_μ的定义可知，对μ∈[1/2, 1]有c_μ≥c₁≥ρ₀>0，其中ρ₀>0由(Ⅰ)给定，既然Φ_μ(0)=0且Φ_μ(e) < 0对μ∈[1/2, 1]一致成立，则(Ⅱ)得证。证毕。

由命题1和引理4知，存在数列{μ_k}⊂[1/2, 1]有如下性质：① $\mu_{k} \stackrel{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1$；② Φ_μk分别在c_μk水平集上有一列有界(P.S)序列{u_n^k}。

再由H紧嵌入到L^p(2 < p < 6)，利用文献[4]中的方法，易得对任意的k∈N，存在u_k∈H使得$u_{n}^{k} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} u_{k}$，故u_k是近似问题在μ=μ_k时的解，且

$ 0<\rho_{0} \leqslant \varPhi_{\mu_{k}}\left(u_{k}\right)=c_{\mu_{k}} \leqslant c_{1 / 2} $

(5)

对任意的k∈N，有

$ \varPhi_{\mu_{k}}^{\prime}\left(u_{k}\right)=0 $

(6)

在定理1的假设条件中，仿照文献[13]的方法，可以证明u_k满足下列Pohozaev恒等式

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \frac{1}{2} \int\left[\left|\nabla u_{k}\right|^{2}+\frac{3}{2} V(x) u_{k}^{2}\right] \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int(\nabla V(x) ,\\ x) u_{k}^{2} \mathrm{~d} x+\frac{5}{4} \int \phi_{u_{k}} u_{k}^{2} \mathrm{~d} x=3 \mu_{k} \int F\left(u_{k}\right) \mathrm{d} x+\int[3 g(x)+ \\ (\nabla g(x), x)] u_{k} \mathrm{~d} x \end{array} $

下面证明序列{u_k}的有界性，有如下引理。

引理5   在定理1的条件下，{u_k}在H中有界。

证明   将证明分为两步。

步骤1  证明{‖u_k‖₂}有界。

设$\left\|u_{k}\right\|_{2} \stackrel{k}{\longrightarrow}+\infty$, 令$v_{k}=u_{k}\left(\left\|u_{k}\right\|_{2}\right)^{-1}$, $ A_{k}=\int\left[\left|\nabla v_{k}\right|^{2}+V(x) v_{k}^{2}\right] \mathrm{d} x, B_{k}=\int[2 V(x)+ $$ (\nabla V(x), x)] v_{k}^{2} \mathrm{~d} x, C_{k}=\lambda\left\|u_{k}\right\|_{2}^{2} \int \phi_{v_{k}} v_{k}^{2} \mathrm{~d} x, D_{k}= $$ \left(\left\|u_{k}\right\|_{2}^{2}\right)^{-1} \int \mu_{k} F\left(u_{k}\right) \mathrm{d} x, E_{k}=\left(\left\|u_{k}\right\|_{2}^{2}\right)^{-1} \int \mu_{k} u_{k} $$ f\left(u_{k}\right) \mathrm{d} x $。

等式(5)、(6)和u_k满足的Pohozaev恒等式两边同时乘以(‖u_k‖₂²)^-1，得

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} A_{k}+\frac{1}{2} B_{k}+\frac{5}{4} Y_{k}=3 D_{k}+o(1) \\ \frac{1}{2} A_{k}+\frac{1}{4} C_{k}=D_{k}+o(1) \\ A_{k}+C_{k}=E_{k}+o(1) \end{array}\right. $

这里ο(1)表示k→+∞时的无穷小量。解上述方程组可得

$ B_{k}=4\left(3 D_{k}-E_{k}\right)+o(1) $

结合(f₃)，由于θ>3，则当k充分大时B_k < 0, 此时与(V₃)矛盾，所以{‖u_k‖₂}有界。

步骤2  证明{‖ $\nabla $u_k‖₂}有界。

设$\left\|\nabla u_{k}\right\|_{2} \stackrel{k}{\longrightarrow}+\infty$, 令$w_{k}=u_{k}\left(\left\|\nabla u_{k}\right\|_{2}\right)^{-1}$, $a_{k}=\int V(x) w_{k}^{2} \mathrm{~d} x, b_{k}=\int[2 V(x)+(\nabla V(x)$, $x)] w_{k}^{2} \mathrm{~d} x, c_{k}=\lambda \left\| \nabla u_{k} \right\|_{2}^{2} \int \phi_{w_{k}} w_{k}^{2} \mathrm{~d} x, d_{k}=$ $\left(\left\|\nabla u_{k}\right\|_{2}^{2}\right)^{-1} \int \mu_{k} F\left(u_{k}\right) \mathrm{d} x, e_{k}=\left(\left\|\nabla u_{k}\right\|_{2}^{2}\right)^{-1} \cdot$ $\int \mu_{k} u_{k} f\left(u_{k}\right) \mathrm{d} x_{\circ}$

同理在式(5)、(6)和u_k满足的Pohozaev恒等式两边同时乘以(‖$\nabla $u_k‖₂²)，得

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} a_{k}+\frac{1}{2} b_{k}+\frac{5}{4} c_{k}=3 d_{k}+o(1) \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} a_{k}+\frac{1}{4} c_{k}=d_{k}+o(1) \\ 1+a_{k}+c_{k}=e_{k}+o(1) \end{array}\right. $

解上述方程组可得b_k=4(3d_k－e_k)－1+ο(1)。结合(f₃)，由于θ>3，则当k充分大时b_k < 0，此时与(V₃)矛盾，所以{‖$\nabla $u_k‖₂}也有界。证毕。

定理1的证明   由引理3知，u₀为系统(1)的负能量解；由引理5和μ_k→1易知，{u_k}是I=Φ₁的有界(P.S)序列，再由H紧嵌入到L^p(2 < p < 6)得，系统(1)存在非平凡解u₁且I(u₁)>0。证毕。

4 定理2的证明

本节中，定义变分泛函为I_V：H_V→R。

为证明定理2，给出如下定义。

定义1 ((P.S)_c条件)  设I∈C¹(E, R)，其中E是Hilbert空间。如果一序列{u_n}⊂E满足I(u_n)→c且I′(u_n)→0，则称序列{u_n}在水平c上是一(P.S)序列，记为(P.S)_c序列。如果任何(P.S)_c序列包含一个收敛子序列，则称I满足(P.S)_c条件。

定义2 ((sP.S)_c条件^[11])  设I∈C¹(E, R)，E是一Hilbert空间，I满足(P.S)_c条件。若序列{u_n}⊂ E满足：

(Ⅰ)$\lim\limits _{n \rightarrow \infty} I\left(u_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} I\left(-u_{n}\right)=c$；

(Ⅱ)存在实数λ_n，使得

$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|I^{\prime}\left(u_{n}\right)-\lambda_{n} I^{\prime}\left(-u_{n}\right)\right\|=0。$

则称序列{u_n}在水平c上是一对称(P.S)_c序列，记为(sP.S)_c序列。如果任何(sP.S)_c序列在E中包含一收敛子序列，则称I满足(sP.S)_c条件。

命题2 (对称山路引理^[11])  I是一C¹泛函，在Hilbert空间H_V=X⊕Y上满足(sP.S)_c条件且dim(X) < ∞，设I(0)=0且满足：

(Ⅰ)存在ρ>0和α≥0使得inf I(S_p(Y))≥α；

(Ⅱ)空间H_V中存在递增的有限维子空间序列{E_n}_n都包含X，使得$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \operatorname{dim}\left(E_{n}\right)=\infty$，且存在R_n>ρ，使得sup I(S_Rn(E_n))≤0。

则I具有一趋于无穷的临界值序列。

定理2的证明将分为下面3个引理。

引理6   设(V₄)和(f₄)成立，则泛函I_V满足(sP.S)_c条件。

证明   先证I_V对任意的c满足(P.S)_c条件。设{u_n}为一(P.S)_c序列，结合(f₅)则有

$ \begin{aligned} &\qquad I_{V}\left(u_{n}\right)-\frac{1}{\theta} I_{V}^{\prime}\left(u_{n}\right) u_{n}+\left(1-\frac{1}{\theta}\right) \int g(x) u_{n} \mathrm{~d} x= \\ &\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta}\right)\left\|u_{n}\right\|^{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{\theta}\right) N(u)+\int\left[F\left(u_{n}\right)-\right. \\ &\left.\frac{1}{\theta} u_{n} f\left(u_{n}\right)\right] \mathrm{d} x \geqslant\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta}\right)\left\|u_{n}\right\|^{2} \end{aligned} $

这里θ>4，其中$N(u)=\int \phi_{u} u^{2} \mathrm{~d} x=\iint \frac{u^{2}(x) u^{2}(y)}{|x-y|}$·dydx，故‖u_n‖有界。由H_V嵌入到L^p(2≤p < 6)的紧性，得到{u_n}具有收敛子列。

现设{u_n}为一(sP.S)_c序列，则由定义2可知∫gu_ndx→0, I₀(u_n)→c，则有

$ \left\langle I_{0}^{\prime}\left(u_{n}\right), v\right\rangle-\frac{1-\lambda_{n}}{1+\lambda_{n}} \int g(x) v \mathrm{~d} x \rightarrow 0, \forall v \in H_{V} $

(7)

式中$I_{0}(u)=\frac{1}{2}\|u\|^{2}+\frac{1}{4} N(u)-\int F(u) \mathrm{d} x$。由式(7)可知存在c₀>0，使得‖I′ ₀(u_n)‖≤c₀。因此

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} c + {c_0}\left\| {{u_n}} \right\| \ge {I_0}\left( {{u_n}} \right) - \frac{1}{\theta }\left\langle {I_0^\prime \left( {{u_n}} \right),{u_n}} \right\rangle \ge \left( {\frac{1}{2} - } \right.\\ \left. {\frac{1}{\theta }} \right){\left\| {{u_n}} \right\|^2} \end{array} $

故‖u_n‖有界，再由(f₄)、引理1与Hölder不等式易知

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ N\left(u_{n}\right) \rightarrow N(u),\left\langle N^{\prime}\left(u_{n}\right), v\right\rangle \rightarrow\left\langle N^{\prime}(u), v\right\rangle, \\ \forall v \in H_{V} \end{array} $

结合Nemytski算子的连续性^[14]易推导出{u_n}的强收敛性。证毕。

由H_V嵌入到L²的紧性，特征值问题

$ \left\{\begin{array}{l} -\Delta u+V(x) u=\lambda u \\ \lim \limits_{|x| \rightarrow \infty} u(x)=0, x \in R^{3} \end{array}\right. $

具有一趋于无穷的特征值序列，记为0 < λ₁≤λ₂≤…≤λ_k≤…，设e_k表示特征值为λ_k时对应的特征函数。

引理7   设(f₁)~(f₂)成立，则对足够大的k₀∈N，存在ρ₀>0，使得对∀u∈Y: =span{e_k; k≥k₀}，当‖u‖=ρ₀时，I_V(u)≥1。

证明  令A=‖g‖₂，因为N(u)≥0，由式(3)再结合Hölder不等式，则对u∈Y有

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ I_{V}(u)=\frac{1}{2}\|u\|^{2}+\frac{1}{4} N(u)-\int F(u)-\int g(x) \cdot \\ u \geqslant \frac{1}{4}\|u\|^{2}-C_{\varepsilon}\|u\|_{2}^{r}\|u\|_{6}^{\theta-r}-A\|u\| \geqslant\left(\frac{1}{4}-\right. \\ \left.C_{0} \lambda_{k_{0}}^{-\frac{r}{2}}\|u\|^{\theta-2}\right)\|u\|^{2}-A\|u\| \end{array} $

式中，r=3－θ/2>0。

取ρ₁>0，使得ρ₁²－8(Aρ₁+1)=0，且C₀λ^－r/2_k0 ·ρ₁^θ－2≤1/8，则I_V(u)≥1。证毕。

引理8  设(f₅)成立，令X=span{e_j; j < k₀}为Y的正交补空间，对任意包含X的有限维子空间E_n∈H_V，存在R_n>ρ，使得sup I_V(S_Rn(E_n))≤0。

证明   由引理3得

$ N(u) \leqslant C_{1}\|u\|^{4} $

则对u∈E_n和R>0，由(f₅)，有

$ \begin{aligned} & I_{V}(R u) \leqslant \frac{R^{2}}{2}\|u\|^{2}+\frac{C_{1} R^{4}}{4}\|u\|^{4}-C R^{\theta}\|u\|_{\theta}^{\theta}+\\ C R\|u\| \end{aligned} $

由于θ>4，再由有限维空间范数的等价性，可得结论。证毕。

定理2的证明   由引理6~8，可知所有关于命题2的条件满足，所以得到I_V具有一趋于无穷大的临界值序列，从而系统(1)具有无穷多解。

至此，定理1和定理2已全部证明。