引言

非线性薛定谔方程(NLSE)是一类重要的非线性演化方程，在非线性光学、量子力学、等离子体理论等领域具有广泛的应用，因此研究该类方程的精确解具有重要的理论意义。近年来，人们提出许多求解NLSE精确解的有效方法，如齐次平衡法^[1]、tanh函数展开法及其扩展^[2]、正弦- 余弦法^[2]、exp-函数法^[2]、试验函数法及其扩展^[3]、扩展辅助方程法^[4]、改进的Fan-子方程法^[5]、(G′/G)-展开法^[6]、exp(-ϕ(ξ))-展开法^[6]等。众所周知，经典的NLSE描述了脉冲宽度在100 fs以上的光脉冲在光纤中的传播^[7]。随着脉冲宽度逐渐变窄，如接近50 fs甚至低于10 fs时，系统必须考虑非线性项和高阶色散(如三阶和四阶色散)。

本文考虑描述超短光脉冲在光纤中传播的具有高阶色散和立方-五次非线性项的NLSE^[8]

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ E_{z}=-\mathrm{i} \frac{\beta_{2}}{2} E_{t t}+\mathrm{i} \gamma_{1}|E|^{2} E+\frac{\beta_{3}}{6} E_{t t t}+\mathrm{i} \frac{\beta_{4}}{24} E_{t t t t}- \\ \mathrm{i} \gamma_{2}|E|^{4} E \end{array} $

(1)

式中，E为电场中关于变量z和t的慢变包络，β₂= $\left.\frac{\partial^{2} k}{\partial \omega^{2}}\right|_{\omega=\omega_{0}}$为群速度色散，k为轴向波数，ω₀为载波频率，β₃、β₄分别为三阶和四阶色散系数，γ₁、γ₂分别为三次和五次非线性项系数。该方程在非线性光学等物理领域中有重要应用^[9]，如能够刻画光孤子在光纤中的传播特征等，因而得到学者们的关注。Azzouzi等^[4]使用推广的双曲辅助方程法得到方程(1)的精确显式解。Xie等^[5]利用改进的Fan-子方程法得到方程(1)的精确解，包括孤子解、扭结解和双周期雅可比椭圆函数解。Zayed等^[6]利用(G′/G)-展开法和exp(-ϕ(ξ))-展开法导出方程(1)的一类精确解族。

利用动力系统的分岔理论不仅能够得到方程局部解的表达式，而且还可以探查方程解的整体结构^[10-11]，因此本文先利用代入法将方程(1)转化为动力系统，再运用分岔理论来分析系统的动力特性。通过分析相图的有界轨道不仅得到了方程有界行波解的显式表达式，而且还可直接获知行波解的分类结构。

1 动力系统分岔分析

对方程(1)采用行波变换E(z, t)=φ(ξ)e^iη，其中ξ=v₀z-vt, η=ω₀z-ωt，并分离实部、虚部可得

$ \begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} l_{3} \varphi^{\prime \prime \prime}(\xi)+l_{1} \varphi^{\prime}(\xi)=0 \\ l_{4} \varphi^{(4)}(\xi)+l_{2} \varphi^{\prime \prime}(\xi)+l_{0} \varphi(\xi)+ \end{array}\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma_{1} \varphi^{3}(\xi)-\gamma_{2} \varphi^{5}(\xi)=0 \end{array} $

(2)

式中，

$ \begin{aligned} &l_{0}=\frac{1}{2} \omega^{2}\left(\beta_{2}+\frac{1}{3} \beta_{3} \omega+\frac{1}{12} \beta_{4} \omega^{2}\right)-\omega_{0} \\ &l_{1}=\omega v\left(\beta_{2}+\frac{1}{2} \beta_{3} \omega+\frac{1}{6} \beta_{4} \omega^{2}\right)-v_{0} \\ &l_{2}=-\frac{1}{2} v^{2}\left(\beta_{2}+\beta_{3} \omega+\frac{1}{2} \beta_{4} \omega^{2}\right) \\ &l_{3}=-\frac{1}{6} v^{3}\left(\beta_{3}+\beta_{4} \omega\right) \\ &l_{4}=\frac{1}{24} \beta_{4} \omega^{4} \end{aligned} $

当l₁=l₃=0时文献[5]采用改进的Fan-子方程法获得对应的行波解；当θ=l₂l₃-l₁l₄≠0时将式(2)一式微分并代入式(2)二式中得

$ \varphi^{\prime \prime}(\xi)=c_{2} \varphi(\xi)+2 c_{4} \varphi^{3}(\xi)+3 c_{6} \varphi^{5}(\xi) $

(3)

式中，c₂=-l₀l₃/θ, 2c₄=-γ₁l₃/θ, 3c₆=γ₂l₃/θ。式(3)等价于如下所示的二维自治系统

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \xi}=y \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \xi}=c_{2} \varphi+2 c_{4} \varphi^{3}+3 c_{6} \varphi^{5} \end{array}\right. $

(4)

这是一个具有Hamilton函数

$ H(\varphi, y)=y^{2}-c_{2} \varphi^{2}-c_{4} \varphi^{4}-c_{6} \varphi^{6}=h $

的可积系统。根据Δ=c₄²-3c₂c₆以及各系数的正、负平衡点的个数及类型可分为区域Ⅰ~Ⅷ 8种情况，如图 1所示。下面将c₂>0和c₂ < 0合并到一起，共分为4类情况进行介绍。

① 当c₄² < 3c₂c₆，或当c₄²≥3c₂c₆且c₄c₆>0时，系统(4)只有1个平衡点O(0, 0)。c₂、c₄、c₆均为正时(区域Ⅰ)O是鞍点(图 2(a))；c₂、c₄、c₆均为负时(区域Ⅱ)O是中心点(图 2(b))。

② 当c₄²=3c₂c₆, c₄c₆ < 0时，系统(4)有3个平衡点，即O(0, 0)，$P_{\pm}\left(\pm \sqrt{-c_{4} /\left(3 c_{6}\right)}, 0\right)$。c₂>0时(区域Ⅲ)O是鞍点，P_±是退化鞍点(图 2(c))；c₂ < 0时(区域Ⅳ)O是中心点，P_±是退化鞍点(图 2(d))。

③ 当c₂c₆ < 0时，系统(4)有3个平衡点，即O(0, 0)，Q_±(φ_1±, 0)或R_±(φ_2±, 0)。c₂>0时(区域Ⅴ)O是鞍点，Q_±是中心点(图 2(e))；c₂ < 0时(区域Ⅵ)O是中心点，R_±是鞍点(图 2(f))。其中，$\varphi_{1 \pm}=\pm\left[\left(-c_{4}-\sqrt{\Delta}\right) / 3 c_{6}\right]^{\frac{1}{2}}, \varphi_{2 \pm}=\pm\left[\left(-c_{4}+\right.\right.$$\left.\sqrt{\Delta}) / 3 c_{6}\right]^{\frac{1}{2}}$。

④ 当c₄²>3c₂c₆>0, c₄c₆ < 0时，系统(4)有5个平衡点，即O(0, 0)、Q_±(φ_1±, 0)和R_±(φ_2±, 0)。当c₂>0时(区域Ⅶ)O、R_±是鞍点，Q_±是中心点，此时分为3种情况：ⓐ在c₄²=4c₂c₆时，有H(Q_±) < H(R_±)=H(O)(图 2(g))；ⓑ在c₄²>4c₂c₆时，有H(Q_±) < H(O) < H(R_±)(图 2(h))；ⓒ在c₄² < 4c₂c₆时，有H(Q_±) < H(R_±) < H(O)(图 2(i))。当c₂ < 0时(区域Ⅷ)O、Q_±是中心点，R_±是鞍点(图 2(j))。

2 NLSE的精确解

对于一个固定的h∈R，曲线

$ C_{h}=\{(\varphi, y) \in R \times R: H(\varphi, y)=h\} $

被称为具有h能量水平的能量曲线^[12]。显然，H(φ, y)=h的每个轨道都是一条能量曲线，因此可以研究其有界轨道与能量水平h之间的关系。设

$ F_{h}(\varphi)=h+c_{2} \varphi^{2}+c_{4} \varphi^{4}+c_{6} \varphi^{6} $

显然能量曲线C_h相当于y²=F_h(φ)所定义的曲线，标记H(Q_±)=h₁=-F₀(φ_1±)，H(R_±)=h₂= -F₀(φ_2±)。下面将通过分析情况③~④所对应能量h的变化来得到系统精确解的分类及分布。

2.1 区域Ⅴ对应系统的精确解

此时c₄²>3c₂c₆, c₂>0, c₆ < 0且h₁ < 0，能量曲线与相图中各有界轨道的对应关系如图 3所示。

根据能量水平h范围的不同，分为如下3种情况。

1) h=0时，这是一条连接鞍点O的稳定流形和不稳定流形的同宿轨

$ y=\pm \sqrt{-c_{6} \varphi^{2}\left(m_{1}-\varphi^{2}\right)\left(\varphi^{2}-m_{2}\right)} $

式中，$m_{1, 2}=\left(-c_{4} \pm \sqrt{c_{4}^{2}-4 c_{2} c_{6}}\right) / 2 c_{6}$且m₁>0>m₂，孤立波解为

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ E_{1 \pm}(z, t)= \\ \pm\left[\frac{-m_{1} m_{2}}{\left(m_{1}-m_{2}\right) \sinh ^{2} \sqrt{c_{6} m_{1} m_{2} }\xi-m_{2}}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i\eta}} \end{array} $

(5)

其分别对应于左半平面的同宿轨道族L_-(O, O)和右半平面的同宿轨道族L₊(O, O)，波形图如图 4(a)所示。

2) h∈(h₁, 0)时，这是位于同宿轨内部，分别围绕中心点Q_±的两个周期轨

$ y=\pm \sqrt{-c_{6}\left(\varphi^{2}-p_{1}\right)\left(\varphi^{2}-p_{2}\right)\left(p_{3}-\varphi^{2}\right)} $

式中，0 < p₁ < φ_1±²，$\left. {{p_{2, 3}} = \{ - \overline p \pm \sqrt {{{\overline p }^2} - 4\left({\overline p {p_1} + {c_2}/{c_6}} \right)} } \right\}/2, \bar p = {p_1} + {c_4}/{c_6} $且p₃>p₁>0>p₂。因此周期波解为

$ E_{2 \pm}(z, t)=\pm\left[\frac{p_{1} p_{3}}{p_{1}+\left(p_{3}-p_{1}\right) \operatorname{cn}^{2}\left(d_{1} \xi, k_{1}\right)}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} $

(6)

式中，$d_{1}=\varepsilon \sqrt{-c_{6} p_{3}\left(p_{1}-p_{2}\right)}, k_{1}=\sqrt{p_{2}\left(p_{1}-p_{3}\right) / p_{3}\left(p_{1}-p_{2}\right)}$，ε=±1，其分别对应于同宿轨道内的两个周期轨道族，波形图如图 4(b)所示。

3) h>0时，这是位于同宿轨外部，包围平衡点O和Q_±在内的一个周期轨。当m₁ < s₁ < (-c₄-2 $\sqrt \Delta $)/3c₆时，周期波解为

$ E_{3 \pm}(z, t)=\pm\left[\frac{s_{2} s_{3}}{s_{2}+\left(s_{3}-s_{2}\right) \operatorname{sn}^{2}\left(d_{2} \xi, k_{2}\right)}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} $

(7)

式中，$d_{2}=\varepsilon \sqrt{-c_{6} s_{2}\left(s_{3}-s_{1}\right)}, k_{2}=\sqrt{s_{1}\left(s_{3}-s_{2}\right) / s_{2}\left(s_{3}-s_{1}\right)}$，ε=±1，$s_{2, 3}=\left\{-\bar{s} \pm \sqrt{\bar{s}^{2}-4\left(\bar{s} s_{1}+c_{2} / c_{6}\right)}\right\} / 2$，$\bar{s}$ =s₁+c₄/c₆且s₁>0>s₃>s₂。波形图如图 4(c)所示。

当s₁>(-c₄-2 $\sqrt \Delta $)/3c₆时，周期波解为

$ E_{4 \pm}(z, t)=\pm\left[\frac{s_{1} \sqrt{s_{5}} \operatorname{cn}\left(2 d_{3} \xi, k_{3}\right)+s_{1} \sqrt{s_{5}}}{e_{1}+e_{2} \operatorname{cn}\left(2 d_{3} \xi, k_{3}\right)}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} $

(8)

式中，s₄=s₁+c₄/c₆，s₅=s₁²+c₄s₁/c₆+c₂/c₆，e_{1, 2}= $\sqrt {{s_5}} $ ± $\sqrt{s_{1}^{2}+s_{4} s_{1}+s_{5}}, d_{3}=\varepsilon \sqrt{-c_{6}}\left[s_{5}\left(s_{1}^{2}+s_{4} s_{1}+s_{5}\right)\right]^{\frac{1}{4}}$，k₃=$\left[2-\left(s_{4} s_{1}+2 s_{5}\right) / \sqrt{s_{5}\left(s_{1}^{2}+s_{4} s_{1}+s_{5}\right)}\right]^{\frac{1}{2}} / 2$，ε=±1。波形图如图 4(d)所示，该波形与周期波解(7)的波形略有不同，在波谷处为尖点状。

2.2 区域Ⅵ对应系统的精确解

此时c₄²>3c₂c₆, c₂ < 0, c₆>0且h₂>0，能量曲线与相图中各轨道的对应关系如图 5所示。

根据能量水平h范围的不同，分为如下两种情况。

1) h=h₂时，这是一条连接鞍点R_±的稳定流形和不稳定流形的异宿轨

$ y=\pm \sqrt{c_{6}\left(n_{1}-\varphi^{2}\right)^{2}\left(\varphi^{2}-n_{2}\right)} $

式中，$n_{1}=\left(-c_{4}+\sqrt{\Delta}\right) / 3 c_{6}, n_{2}=\left(-c_{4}-2 \sqrt{\Delta}\right) / 3 c_{6}$且n₁>0>n₂。因此孤立波解为

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ E_{5 \pm}(z, t)= \\ \pm\left[\frac{-n_{1} n_{2} \sinh ^{2}\left(\xi \sqrt{c_{6} n_{1}\left(n_{1}-n_{2}\right)}\right)}{n_{1}-n_{2} \cosh ^{2}\left(\xi \sqrt{c_{6} n_{1}\left(n_{1}-n_{2}\right)}\right)}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} \end{array} $

(9)

分别对应于异宿轨道族L_-(R₊, R_-)和L₊(R_-, R₊)，波形图如图 6(a)所示。

2) h∈(0, h₂)时，这是位于异宿轨内部，包围中心点O的一个周期轨

$ y=\pm \sqrt{c_{6}\left(q_{1}-\varphi^{2}\right)\left(\varphi^{2}-q_{2}\right)\left(q_{3}-\varphi^{2}\right)} $

式中，0 < q₁ < n₁，${q_{2, 3}} = \{ - \overline q \pm \left. {\sqrt {{{\overline q }^2} - 4\left({\bar q{q_1} + {c_2}/{c_6}} \right)} } \right\}/2, \bar q = {q_1} + {c_4}/{c_6} $且q₃>q₁>0>q₂。因此周期波解为

$ E_{6 \pm}(z, t)=\pm\left[\frac{-q_{1} q_{2} \operatorname{sn}^{2}\left(d_{4} \xi, k_{4}\right)}{q_{1} c n^{2}\left(d_{4} \xi, k_{4}\right)-q_{2}}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} $

(10)

式中，$d_{4}=\varepsilon \quad \sqrt{c_{6} q_{3}\left(q_{1}-q_{2}\right)}$, k₄=$\sqrt{q_{1}\left(q_{3}-q_{2}\right) / q_{3}\left(q_{1}-q_{2}\right)}$，ε=±1。其对应异宿轨道内的一个周期轨道族，波形图如图 6(b)所示。

2.3 区域Ⅶ中情况ⓐ对应系统的精确解

此时c₂>0, c₄ < 0, c₆>0, c₄²=4c₂c₆且h₁ < h₂=0，能量曲线与相图中各轨道的对应关系如图 7所示。

根据能量水平h范围的不同，分为如下两种情况。

1) h=h₂=0时，这是一条连接鞍点O和R_±的稳定流形和不稳定流形的异宿轨

$ y=\pm \sqrt{c_{6} \varphi^{2}\left(\varphi^{2}+\frac{c_{4}}{2 c_{6}}\right)^{2}} $

因此得到扭结波解为

$ E_{7{\pm}}(z, t)=\pm\left\{-\frac{c_{4}}{4 c_{6}}\left[1 \pm \tanh \left(\xi \sqrt{c_{2}}\right)\right]\right\}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} $

(11)

分别对应于异宿轨道族L(O→R₊→O)和L(O→R_-→O)，波形图如图 8所示。

2) h∈(h₁, 0)时，这是位于同宿轨内部分别围绕中心点Q_±的两个周期轨。因此周期波解为

$ E_{8 \pm}(z, t)=\pm\left[\frac{p_{1} p_{2}}{p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right) \operatorname{cn}^{2}\left(d_{5} \xi, k_{5}\right)}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \eta} $

(12)

式中，${d_5} = \varepsilon \sqrt {{c_6}{p_2}\left({{p_3} - {p_1}} \right)}, {k_5} = \sqrt {{p_3}\left({{p_2} - {p_1}} \right)/{p_2}\left({{p_3} - {p_1}} \right)} $，ε=±1，其分别对应于同宿轨道内两个周期轨道族。此时解的结构与式(6)的周期波解有所差别，这里要求p₃>p₂>p₁>0，但其波形与图 4(b)的波形相似。

本文对图 2中区域Ⅶ的情况ⓑ、ⓒ及区域Ⅷ分别对应的3个相图也进行了与前面类似的讨论，得到对应的周期波解和孤立波解，并且发现其对应的波形无太大差别，在此不再赘述。

3 结论

本文研究了描述超短光脉冲在光纤中传播的具有高阶色散和立方- 五次非线性项的薛定谔方程的精确解。采用代入法和动力系统的分岔理论得到方程的10个相图，对其中比较典型的3个相图进行理论分析，找到了系统的孤立波解、扭结波解和周期波解等精确解，并进行了数值验证，给出了波形的三维图。孤立波解的存在意味着非线性和色散之间的完美平衡，我们给出了孤立波解的存在条件，从而也证实了该系统所描述的光纤在一定条件下能够稳定地进行长时传播。同时本文对系统动态分析的结果体现了行波结构的多样性和完整性。