引言

自治水下机器人在油气勘探、水下救援和海洋科学中都有着广泛的应用^[1]。最初应用于执行海洋任务的自治水下机器人(autonomous underwater vehicle，AUV)是全驱动AUV，全驱动AUV是指其驱动器数量与自由度相等。而当AUV的驱动器数量少于其自由度时则称为欠驱动AUV。随着海洋装备的发展，欠驱动AUV越发体现出其重要性。在实际应用中，许多欠驱动AUV在潜伏或摇摆方向上缺少推进器或者其他机械结构，相比全驱动AUV质量更轻，续航更久。欠驱动AUV虽然降低了自身重量，但也给控制带来更大困难，并且AUV本身是一个高度耦合的非线性系统，这些因素导致对AUV的精准运动控制是极具难度的。

欠驱动AUV在垂直面上的轨迹跟踪是欠驱动AUV运动控制研究中基本的问题之一。Subudhi等^[2]提出了一种输出反馈控制器，基于AUV线性化模型完成了其在垂直面上的轨迹跟踪任务。贾鹤鸣等^[3]采用神经网络自适应反步控制器，实现了AUV的变深控制。Lakhekar等^[4]构造了一个增强的动态模糊滑模控制器来改善AUV在执行任务时的深度控制性能。

滑模控制(sliding mode control，SMC)因对各种干扰和系统参数变化不敏感而得到广泛应用^[5]。杨俭健等^[6]对无人遥控潜水器(remotely operated vehicle，ROV)的深度轨迹跟踪进行了研究，利用反步法设计出滑模变结构控制器，在理想和有干扰的情况下分别实现了轨迹跟踪。Gao等^[7]将六自由度AUV状态方程解耦为垂直和水平两部分，并分别设计了滑模控制器，实现了垂直面上的轨迹跟踪。但以上研究并未考虑到系统模型本身的扰动。

SMC适用于误差全局有界的系统，为提高AUV的自适应能力，许多基于自适应思想的控制器被用来控制AUV。魏延辉等^[8]针对AUV水平面的轨迹跟踪控制在轴向、侧向和艏向3个自由度上分别采用自适应反步法滑模控制器和自适应终端滑模控制器，仿真结果表明两种控制器的控制效果良好，AUV能够对水平面上的轨迹实现精确跟踪。外部干扰是影响AUV控制精度的另一个关键因素，具有可预测性弱、非周期、非线性的特点。非线性干扰观测器(nonlinear disturbance observer，NDO)是一种可以减少外部干扰对系统控制影响的有效手段。张利军等^[9]在AUV深度的自适应输出反馈控制设计过程中引入NDO，提升了系统的动态性能；文献[10]针对水面舰艇设计了一种基于有限时间的NDO，仿真结果表明该NDO能实现干扰的精确估计，但其收敛时间受初始的观测误差影响，适用性较低，而且文献[9]和^[10]的干扰观测器只针对常值干扰才具有良好的估计效果。以上研究主要集中在系统参数自适应的设计上，并以此为基础引入其他控制算法，设计过程繁琐，较少关注外界干扰本身的估计。

本文提出一种基于NDO的自适应终端滑模控制器，以解决欠驱动AUV在深度路径跟踪中受外部干扰和内部扰动而难以精准控制的问题。通过设计NDO估计外部干扰，降低外部干扰对欠驱动AUV运动控制的影响，再使用自适应终端滑模对NDO未能估计的干扰进行控制。针对传统滑模收敛时间长和抖振严重的问题，本文采用的自适应终端滑模控制器能更快速地实现收敛，并改善传统滑模中由符号函数带来的抖振现象。

1 欠驱动AUV的运动模型

欠驱动AUV推进系统主要由主推进器、方向舵和水平舵组成。由于在横移和垂向上缺少推进器，所以属于欠驱动系统。为了分析欠驱动AUV的运动状态方程，定义了两个坐标系，如图 1所示，其中{B}和{E}分别表示运动坐标系和固定坐标系。

依据国际拖拽水池会议(International Towing Tank Conference，ITTC)所推广的参数来描述欠驱动AUV的运动状态方程^[11]。定义欠驱动AUV的重心坐标和浮心坐标分别为r_G=[x_g y_g z_g]^T和r_B=[x_b y_b z_b]^T。取AUV在坐标系{E}下的位置与姿态为η=[x y z ϕ θ ψ]^T，其中，x, y和z表示AUV的位置坐标；ϕ, θ和ψ分别表示AUV的横摇角、俯仰角和偏航角。AUV在坐标系{B}下的线速度与角速度为v=[u v w p q r]^T，其中，u, v, w, p, q和r分别表示AUV的纵向速度、横向速度、垂荡速度、横摇角速度、俯仰角速度和偏航角速度。

对欠驱动AUV深度控制进行研究，需要建立其在垂直面上的运动学和动力学模型。考虑欠驱动AUV实际运行时的工作环境，由于难以获得其精准数学模型，需要对欠驱动AUV数学模型进行必要、合理的简化。假设欠驱动AUV本体为刚体，并且形状与质量分布关于纵向和横向对称，重心和浮心位于同一垂直线上，速度较低，因此可将欠驱动AUV垂直面上的运动学和动力学模型从六自由度状态方程中解耦出来。首先假设欠驱动AUV的垂直面与水平面的运动之间相互解耦，并且满足v=0，ψ=ϕ=0，p=r=0，忽略欠驱动AUV横摇方向运动对其纵摇方向运动的干扰，可得如下垂直面运动学与动力学模型^[12]。

$ {\dot \theta = q} $

(1)

$ {\dot z = - u\sin \theta + w\cos \theta } $

(2)

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {I_{yy}}\dot q + m\left[ {{z_{\rm{g}}}wq - {x_{\rm{g}}}(\dot w - uq)} \right] = - \left( {{z_{\rm{g}}}W - {z_{\rm{b}}}B} \right)\\ \sin \theta - \left( {{x_{\rm{g}}}W - {x_{\rm{b}}}B} \right)\cos \theta + {M_{|w|w}}w|w| + {M_{|q|q}}q|q| + \\ {M_{\dot w}}\dot w + {M_{\dot q}}\dot q + {M_{uq}}uq + {M_{uw}}uw + {M_{uu}}{u^2}{\delta _{\rm{s}}} + {T_{{\rm{ext}}}} \end{array} $

(3)

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} m\left( {\dot w - uq - {z_{\rm{g}}}{q^2} - {x_{\rm{g}}}\dot q} \right) = (W - B)\cos \theta + {Z_{|w|w}}w\\ |w| + {Z_{\dot w}}\dot w + {Z_{|q|q}}q|q| + {Z_{\dot q}}\dot q + {Z_{uq}}uq + {Z_{uw}}uw + \\ {Z_{uu}}{u^2}{\delta _{\rm{s}}} \end{array} $

(4)

式中，m、W和B分别表示欠驱动AUV的质量、重力和浮力；I_yy为欠驱动AUV关于y轴的惯性矩；Z_{·}和M_{·}为欠驱动AUV的水动力参数，下标{·}为加速度水动力系数和耦合项水动力系数的统称；δ_s为欠驱动AUV舵角输入，下标s表示动力源；T_ext为欠驱动AUV所受外部干扰。

结合欠驱动AUV实际运行工况，为了设计出简洁高效的控制器，需对上述动力学模型中冗余部分进行合理的简化。由于欠驱动AUV横摇运动的影响微弱，可假定垂荡速度w≈0，$\dot w$≈0。取坐标系{B}原点为AUV浮心，即x_b=y_b=z_b=0。结合欠驱动AUV实际运行时的驱动特点，设定欠驱动AUV的纵向速度在主推进器的作用下保持恒定，即u=U，且U>0。令x₁=z，x₂=θ和x₃=q，根据式(1) ~ (3)建立新的AUV垂直面运动模型

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = - U{x_2} + {T_1}}\\ {{{\dot x}_2} = {x_3}}\\ {{{\dot x}_3} = {A_1}{x_3} + {A_2}\sin {x_2} + {A_3}{\delta _{\rm{s}}} + {A_4}\left| {{x_3}} \right|{x_3} + {T_2}} \end{array}} \right. $

(5)

式中，A₁=M_uqU/I_yy－M_{$\dot q$}，A₂=－z_gW/I_yy－M_{$\dot q$}，A₃=M_uuU²/I_yy－M_{$\dot q$}，A₄=M_q|q|/I_yy－M_{$\dot q$}；T₁=U(x₂－sin x₂)，为欠驱动AUV状态方程的内部扰动；T₂=T_ext/I_yy－M_{$\dot q$}，为欠驱动AUV状态方程的外部干扰。

2 欠驱动AUV控制器的设计 2.1 非线性干扰观测器设计

由于外部干扰T_ext是整个系统所受干扰的最主要部分，为消除这部分干扰对欠驱动AUV运动的影响，通过引入NDO来得到外部干扰值并进行补偿^[13]。在设计控制器时将外部干扰T_ext转为估计T₂。假设$\hat T$₂是T₂的估计值，$\hat T$_ext是T_ext的估计值，显然可得$\hat T$_ext和$\hat T$₂满足关系式：$\hat T$_ext=(I_yy－M_{$\dot q$}) $\hat T$₂。

针对式(5)所表示的欠驱动AUV系统状态方程并结合Mohammed等^[14]所使用的NDO的设计方法，定义状态变量x=[x₁ x₂ x₃]^T, 则可将状态方程重写为如式(6)所示的向量形式表达式。

$ \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{G}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\delta _{\rm{s}}} + \mathit{\boldsymbol{E}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){T_2} + \mathit{\boldsymbol{F}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) $

(6)

式中，G(x)=[0 0 A₃]^T；E(x)=[0 0 1]^T；F(x)=[－Ux₂+T₁ x₃ A₁x₃+A₂sin x₂+A₄|x₃|x]^T。

设计如下形式的NDO

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\hat T}_2} = h + f(\mathit{\boldsymbol{x}})}\\ {\dot h = \mathit{\boldsymbol{L}}\left[ { - \mathit{\boldsymbol{F}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) - \mathit{\boldsymbol{G}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\delta _{\rm{s}}} - \mathit{\boldsymbol{E}}(\mathit{\boldsymbol{x}})(h + f(\mathit{\boldsymbol{x}}))} \right]} \end{array}} \right. $

(7)

式中，h为NDO的内部变量；$\hat T$₂为T₂估计值的输出；f(x)=f₁x₁+f₂x₂+f₃x₃，f₁，f₂和f₃均为常数且都大于零；L=[f₁ f₂ f₃]^T。

定义${\tilde T_2} = {T_2} - {\hat T_2}$，由于实际情况下没有干扰T₂的先验知识，假设干扰T₂相对系统的动态特性变化缓慢，即$\dot T$₂=0，则有${\dot {\tilde T}_2} = {\dot T_2} - {\dot {\hat T}_2} = - {\dot {\hat T}_2}$。结合式(7)可得${\dot {\hat T}_2} = \dot h + \dot f(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \mathit{\boldsymbol{LE}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\rm{ }}{\tilde T_2}$。由此可知

$ {{\dot {\tilde T}}_2} = - \mathit{\boldsymbol{LE}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\rm{ }}{\tilde T_2} = - {f_3}{\tilde T_2} $

(8)

针对上述NDO构造一个李雅普诺夫函数为${V_{{\rm{NDO}}}} = \tilde T_2^2/2$，对其微分可得${\dot V_{{\rm{NDO}}}} = - {f_3}\tilde T_2^2$，故该非线性观测器是稳定的。

2.2 自适应终端滑模控制器设计

NDO虽然能够对外部干扰进行补偿，但依旧存在部分外部干扰未能得到有效补偿的问题，这一小部分的外部干扰仍然会对欠驱动AUV的系统参数造成扰动，导致整个控制系统的精度下降。SMC为实现较好的控制，常采用较大的控制增益，致使控制系统抖振严重。与SMC相比，终端滑模利用滑模面上的非线性项，可实现系统误差的快速收敛并能有效降低传统SMC的抖振。本文通过在NDO后引入自适应终端滑模对未补偿的外部干扰和系统内部扰动进行控制。基于NDO的自适应终端滑模控制系统设计如图 2所示。

考虑到$\hat T$₂可通过NDO得到，欠驱动AUV的垂直面运动状态方程可改写为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = - U{x_2} + {T_1}}\\ {{{\dot x}_2} = {x_3}}\\ {{{\dot x}_3} = {A_1}{x_3} + {A_2}\sin {x_2} + {A_3}{\delta _{\rm{s}}} + {A_4}\left| {{x_3}} \right|{x_3} + {{\hat T}_2} + \varLambda } \end{array}} \right. $

(9)

式中，Λ=$\tilde T$₂。

定义Λ的估计值为$\hat {\mathit{\Lambda}} $，并且满足关系$\tilde {\mathit{\Lambda}} = {\mathit{\Lambda}} - \hat {\mathit{\Lambda}} $。同样由于对外部干扰缺乏先验知识，并假设Λ相对系统的动态特性变化缓慢，即$\dot {\mathit{\Lambda}} $=0，则存在$\dot {\tilde {\mathit{\Lambda}}} = - \dot {\hat {\mathit{\Lambda}}} $。

根据欠驱动AUV的状态方程，利用反步法设计滑模面函数，取设定轨迹为z_d。定义第一个滑模面函数S₁为

$ {S_1} = {x_1} - {z_{\rm{d}}} $

(10)

考虑到T₁是状态方程中的内部扰动量，需要降低该值对系统控制的影响。定$\hat T$₁是T₁的估计值，且${\tilde T_1} = {T_1} - {\hat T_1}$，取自适应律公式(11)计算${\hat T_1}$。

$ \dot {\hat T} = {c_1}{S_1}, {c_1} > 0 $

(11)

构建李雅普诺夫函数V₁为

$ {V_1} = \frac{1}{2}S_1^2 + \frac{1}{{2{c_1}}}\tilde T_1^2 $

(12)

定义第一个虚拟输入α₁为

$ {\alpha _1} = \frac{1}{U}\left( {{k_1}{S_1} + {{\hat T}_1} - {{\dot z}_{\rm{d}}}} \right), {k_1} > 0 $

(13)

定义第二个滑模面函数S₂及李雅普诺夫函数V₂为

$ {S_2} = {x_2} - {\alpha _1} $

(14)

$ {V_2} = {V_1} + \frac{1}{2}S_2^2 $

(15)

定义第二个虚拟输入α₂及第三个滑模面函数S₃为

$ {{\alpha _2} = - {k_2}{S_2} + {{\dot \alpha }_1} + U{S_1}, {k_2} > 0} $

(16)

$ {{S_3} = {x_3} - {\alpha _2}} $

(17)

然后构建一个终端滑模面函数S₄为

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {S_4} = {S_3} + \int_0^t {\left[ {{n_1}{{\left| {{S_3}} \right|}^{{m_1}}}{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_3}} \right) + {n_2}{{\left| {{S_3}} \right|}^{{m_2}}}{\mathop{\rm sign}\nolimits} } \right.} \\ \left. {\left( {{S_3}} \right)} \right]{\rm{d}}t \end{array} $

(18)

式中，n₁、n₂、m₁和m₂均为常数，sign()为符号函数。

取自适应律$\dot {\hat {\mathit{\Lambda}}} $为

$ {\dot {\hat \varLambda}} = {c_2}{S_4}, {c_2} > 0 $

(19)

根据以上自适应律及所设计的滑模面函数，可建立舵的控制输入为

$ \begin{array}{l} \quad {\delta _{\rm{s}}} = - \frac{1}{{{A_3}}}\left[ {{A_1}{x_3} + {A_2}\sin {x_2} + {A_4}\left| {{x_3}} \right|{x_3} + \hat {\mathit{\Lambda}} + {{\hat T}_2} - } \right.\\ {{\dot \alpha }_2} + {n_1}{\left| {{S_3}} \right|^{{m_1}}}{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_3}} \right) + {n_2}{\left| {{S_3}} \right|^{{m_2}}}{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_3}} \right) + \left| {{W_{\rm{ \mathit{ μ} }}}} \right|\\ \left. {{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_4}} \right)} \right] \end{array} $

(20)

式中，W_μ=∫₀^t[－W_μ+sign(S₄)]dt，W_μ的主要作用是缓解传统滑模控制的抖振现象。

定义一个包括NDO和终端滑模面的李雅普诺夫函数V₃为

$ {V_3} = \frac{1}{2}S_4^2 + \frac{1}{2}\tilde T_2^2 + \frac{1}{{2{c_2}}}{{\tilde \varLambda }^2} $

(21)

2.3 系统的稳定性分析

为了保证所设计的欠驱动AUV深度控制器的有效性，利用李雅普诺夫原理分析系统稳定性。

$ {{\dot V}_1} = {S_1}{{\dot S}_1} - \frac{1}{{{c_1}}}{{\tilde T}_1}{{\dot {\tilde T}}_1} = - U{S_1}{S_2} - {k_1}S_1^2 $

(22)

若S₂=0，可得$\dot V$₁≤0, 则S₁最终收敛于0。

$ {{\dot V}_2} = {{\dot V}_1} + {S_2}{{\dot S}_2} = {S_2}{S_3} - {k_1}S_1^2 - {k_2}S_2^2 $

(23)

同理可知，若S₃=0，可得$\dot V$₂≤0，意味着S₂同样最终收敛于0。从式(18)可知S₃=0等价于S₄=0，所以重点为证明终端滑模面S₄的收敛性。根据式(9)、(13)、(16)、(18)和(20)可得

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\dot S}_4} = {{\dot S}_3} + {n_1}{\left| {{S_3}} \right|^{{m_1}}}{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_3}} \right) + {n_2}{\left| {{S_3}} \right|^{{m_2}}}{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_3}} \right) = \\ - \left| {{W_{\rm{ \mathit{ μ} }}}} \right|{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( {{S_4}} \right) + \tilde \varLambda \end{array} $

(24)

同样从式(8)、(19)和(23)可得

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\dot V}_3} = {S_4}{{\dot S}_4} + {{\tilde T}_2}{{\dot {\tilde T}}_2} + \frac{1}{{{c_2}}}\tilde \varLambda {\dot {\tilde \varLambda}} = - \left| {{W_{\rm{ \mathit{ μ} }}}} \right|\left| {{S_4}} \right| - {f_3} \cdot \\ \tilde T_2^2 \le 0 \end{array} $

(25)

考虑到V₃≥0，$\dot V$₃≤0，可知终端滑模面函数S₄将收敛。若S₄=0，则S₃=0，由式(23)可知，S₂也将收敛于0，进一步可得S₁也将收敛于0。根据以上分析可知，所有滑模面函数都将收敛至平衡点。

3 仿真实验

为了验证所设计的控制器在外部干扰和内部扰动下具有良好的深度轨迹跟踪效果，采用某欠驱动AUV参数进行仿真实验。其中欠驱动AUV的参数可从文献[15]获取，具体如下: m=30.48 kg，W=299 N，B=306 N，U=1.4 m/s，x_g=y_g=0 m，M_uq=－2(kg·m)/rad，z_g=0.019 6 m，M_{$\dot q$}=－4.88(kg·m)/rad，M_uu=－6.15 kg/rad，I_yy=3.45 kg·m²，M_q|q|=－188(kg·m²)/rad²。NDO的仿真参数选择为f₁=1.1，f₂=1.5，f₃=1.7；自适应终端滑模的控制参数设置为k₁=1.1，k₂=2，k₃=1.2，c₁=0.2，c₂=0.02，n₁=n₂=1.2，m₁=1.1和m₂=0.6。欠驱动AUV系统的状态初始值设定为[z θ q]^T=[3 0 0]^T。取欠驱动AUV的深度参考轨迹和外部干扰分别为

$ {{z_{\rm{d}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4, }&{0 \le t < 30}\\ {4 + 1.5\sin \left( {\frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}t}}{{10}}} \right), }&{30 \le t \le 80} \end{array}} \right.} $

(26)

$ {{T_{{\rm{ext}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {10, }&{10 \le t < 20}\\ {10\sin \left( {\frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}t}}{{10}}} \right) + 10\sin \left( {\frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}t}}{5}} \right) + 5\sin \left( {\frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}t}}{{25}}} \right), }&{40 \le t < 60} \end{array}} \right.} $

(27)

仿真结果如图 3~9所示。图 3为欠驱动AUV分别在基于NDO的自适应终端滑模控制，无NDO的自适应终端滑模控制，传统比例、积分和微分(proportion integral differential，PID)控制和基于NDO的传统滑模控制下的深度跟踪曲线, 其中PID参数的确定采用试凑法进行调节，最后选择一组较为理想的参数：比例项k_p=50, 积分项k_i=9, 微分项k_d=60。图 4则展示了欠驱动AUV在上述4种不同控制器下的深度跟踪误差。

欠驱动AUV整个运动过程可分为t∈[0, 30)的定深阶段和t∈[30, 80]的深度跟踪阶段，其中系统在t∈[10, 20]和t∈[40,60]时都将受到外界干扰。但从图 3和图 4可以看出在基于NDO的自适应终端滑模控制下，无论是定深阶段还是深度跟踪阶段，欠驱动AUV都能实现准确的深度跟踪控制。在无NDO自适应终端滑模控制下，欠驱动AUV在t∈[0, 10]未受外部干扰时能实现定深控制，但从10 s开始受到外界干扰后误差增大，未能实现有效的深度跟踪控制。由此可见NDO在补偿外界干扰方面是非常有效的。

为了证明所设计自适应终端滑模控制器在无NDO的情况下同样具有较强的抗干扰能力，设计传统PID与之对照。从图 3和图 4可以看出无NDO的自适应终端滑模控制器和PID控制器在受到外界干扰时都会出现较大的跟踪误差，但无NDO的自适应终端滑模跟踪误差均比同期的传统PID跟踪误差小，而且无NDO的自适应终端滑模控制相比传统PID控制器响应更为迅速。同时当外界干扰消失后，无NDO的自适应终端滑模控制器比传统PID控制器能更快收敛至设定轨迹。可以看出本文所设计的控制器在无NDO的情况下同样具有较强的抗干扰能力。

图 5为基于NDO的传统滑模控制和基于NDO的自适应终端滑模控制的欠驱动AUV深度跟踪误差。其中基于NDO的传统滑模跟踪误差最大值为0.22 m，基于NDO的自适应终端滑模跟踪误差最大值为0.137 5 m，前者误差最大值是后者的1.6倍；此外基于NDO的传统滑模控制在定深阶段的峰值时间为3.5 s，而基于NDO自适应终端滑模在定深阶段的峰值时间为2.1 s，前者峰值时间是后者的1.67倍。说明基于NDO的自适应终端滑模收敛更快，精度更高。

为了进一步验证所设计的自适应终端滑模控制器的性能，将其与基于NDO的传统滑模控制进行仿真实验对比。实验结果如图 6所示，其中图 6(a)为基于NDO的传统滑模舵角控制曲线，图 6(b)为基于NDO的自适应终端滑模舵角控制曲线。对比图 6(a)、(b)，可以看出基于NDO的传统滑模控制系统抖振现象明显，与之相比基于NDO的自适应终端滑模控制曲线整体平滑，说明所设计终端滑模控制器中n₁|S₃|^m₁sign(S₃)、n₂|S₃|^m₂sign(S₃)和W_μ 这3项能够对传统滑模控制的抖振现象起到明显的改善作用。

在基于NDO的终端滑模控制系统中，外部干扰和内部扰动的实际值与观测值分别如图 7、8所示。由图 7可知NDO能够迅速准确地估计到外部干扰，自适应算法在整个过程对内部扰动实现有效的估计。本文所设计欠驱动AUV在前30 s处于定深阶段，30~80 s则处于连续深度跟踪阶段，从图 8中可以看出，0~30 s的定深阶段的观测值与实际值的误差更大，这是因为自适应算法本身需要运行过程中不断实时迭代系统最新状态信息，而在定深阶段系统状态变化非常缓慢，不能为系统提供更多的有效信息，致使定深阶段的观测值与实际值之间稍有差距。

基于NDO的自适应终端滑模控制过程中欠驱动AUV的垂荡速度w的变化曲线如图 9所示。其中w的最大值为0.012 m/s，在整个深度跟踪过程中一直接近于0，满足之前为设计控制器而简化模型所作出的假设(w≈0，$\dot w$≈0)。

综合以上实验结果和理论分析，所设计的基于NDO的自适应终端滑模控制器能够有效实现欠驱动AUV的定深和深度跟踪控制，具有良好的抗外部干扰和内部扰动能力。

4 结论

(1) 针对欠驱动AUV深度运动控制问题，设计了基于NDO的自适应终端滑模控制器。针对外部干扰，通过引入NDO对外部干扰进行观测，并对NDO观测的外界干扰误差和欠驱动AUV系统的内部扰动引入自适应终端滑模控制器进行补偿，结果表明所设计的控制器具有良好的控制性能。

(2) 针对本文所设计的基于NDO的自适应终端滑模控制器的仿真结果表明，该控制器的跟踪误差最大值为0.137 5 m，峰值时间为2.1 s，具有良好的控制精度和抗干扰能力。与传统滑模控制相比，自适应终端滑模控制器能够有效改善传统滑模控制的抖振现象，降低欠驱动AUV执行机构因抖振而造成的损害。

目前本文研究只关注了欠驱动AUV在垂直面上的运动控制，关于欠驱动AUV在三维空间中的路径跟踪控制还需要进一步的研究。