Numerical solution of a Burgers equation using an exponential spline scheme

ZiRui LIU; ShanShan JIANG; RuoHao LIU

doi:10.13543/j.bhxbzr.2026.01.015

Journal of Beijing University of Chemical Technology >

2026 , Vol. 53 >Issue 1: 152 - 157

DOI: https://doi.org/10.13543/j.bhxbzr.2026.01.015

Management and Mathematics

Numerical solution of a Burgers equation using an exponential spline scheme

ZiRui LIU ,
ShanShan JIANG ,
RuoHao LIU

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College of Mathematics and Physics，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China

Received date: 2023-12-25

Online published: 2026-02-28

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Abstract

The definition of an exponential B-spline function and its basic derivative formats on a rectangular uniform grid were given. For a given Burgers equation， the exponential B-spline scheme was used for discretization in the space direction and the Crank-Nicolson scheme combined with the Hermite compact scheme was used for discretization in the time direction. The numerical solution was obtained， and the stability and convergence of this scheme were proved. The errors and convergence orders of the numerical solution and the influence of different parameter values on the precision of the numerical solution were studied experimentally.

Key words： exponential spline; Burgers equation; numerical solution

Cite this article

ZiRui LIU , ShanShan JIANG , RuoHao LIU . Numerical solution of a Burgers equation using an exponential spline scheme[J]. Journal of Beijing University of Chemical Technology, 2026 , 53(1) : 152 -157 . DOI: 10.13543/j.bhxbzr.2026.01.015

引言

Burgers方程是模拟激波传播和反射的非线性二阶偏微分方程，具体表达式为

c t + c c x = λ c x x

（1）

式中λ>0，为耗散系数或黏性系数。

以上Burgers方程又被称为黏性Burgers方程，是应用于几乎所有数学领域的基本偏微分方程，如流体力学方程、非线性声学方程和气体动力学方程。其相关理论在充满黏弹性液体管道中波的传播、黏性介质中的激波、气体的超速传送、半导体增长的不规则扩散和某些燃烧模型等方面都有重要的研究意义。

Cole^［1］、Hopf^［2］通过非线性变换

v = ψ x ψ x = - 2 λ l n (φ)

（2）

将Burgers方程简化为线性热方程

v = - 2 λ φ x φ

（3）

由以上分析可知，Burgers方程是流体力学中Navier⁃Stokes方程忽略压力项后的简化模型，同时也与热方程有密切关系，因此它具有热传导方程和波动方程的特性。

对于Burgers方程，并不是总能解出其精确解，因此研究其数值解具有重要意义。张新明等^［3］使用三次B样条方法研究了时间分数阶Burgers方程，得到了空间二阶收敛、时间方向

2 - α

阶收敛的数值格式。Zhao等^［4］采用时空连续Galerkin （STCG）方法对二维Burgers方程进行数值求解，此格式在时间和空间上都使用有限元方法离散，因此更容易得到高阶精度的数值解。曹艳华等^［5］使用时空多项式配点法研究三维Burgers方程，得到了不规则区域下解的形态和精度。王佳威等^［6］给出了一类Burgers型方程的预测校正紧差分方法，并研究了该方法的收敛阶和误差。

目前对于Burgers方程的研究已颇为深入，但很少有指数样条方法的应用。本文在空间方向使用指数样条格式、时间方向使用Crank⁃Nicolson（C⁃N）格式研究Burgers方程，证明此格式的稳定性和收敛性，并以数值实验进行了验证。

1 数值格式

1.1 Burgers方程

Burgers方程模型为

v t + v v x - λ v x x = f (x, t) a < x < b, t > 0

（4）

初值条件如下。

v (x, 0) = φ x

（5）

边界条件如下。

v (a, t) = ϑ 1 (t) v (b, t) = ϑ 2 (t)

（6）

式中，

a, b, φ, ϑ 1, ϑ 2

给定。

1.2 矩形区域的指数样条基函数

设微分方程给定定义域

Ω = [a, b] × [T 1, T 2]

将时间方向均分为M段

T 1 = t 0 < t 1 < ⋯ < t M = T 2

，间隔记为

∆

t。

将空间方向均分为N段

a = x 0 < x 1 < ⋯ < x N = b

，间隔记为

∆ x

。

给出如下两个参数（

p > 0

）

s 1 = s i n h (p Δ x), c 1 = c o s h (p Δ x)

在空间方向，使用四阶指数样条格式离散（其中基函数

E B n (x)

只在

[x n - 2, x n + 2]

上不为0）

E B n (x) = r (x n - 2 - x) - r p s i n h (p (x n - 2 - x)), x ∈ [x n - 2, x n - 1] a 1 + b 1 (x n - x) + c ¯ e p (x n - x) + c e - p (x n - x), x ∈ [x n - 1, x n] a 1 + b 1 (x - x n) + c ¯ e p (x - x n) + c e - p (x - x n), x ∈ [x n, x n + 1] r (x - x n + 2) - r p s i n h (p (x - x n + 2)), x ∈ [x n + 1, x n + 2] 0, e l s e

（7）

其中

n = 1,2, ⋯, N - 1

，各参数值如下。

r = p 2 (p Δ x c 1 - s 1) a 1 = p Δ x c 1 p Δ x c 1 - s 1 b 1 = p 2 c 1 (c 1 - 1) + s 12 (p Δ x c 1 - s 1) (c 1 - 1) c ¯ = 14 e - p h (1 - c 1) + s 1 (e - p h - 1) (p Δ x c 1 - s 1) (1 - c 1) c = 14 e p h (c 1 - 1) + s 1 (e p h - 1) (p Δ x c 1 - s 1) (1 - c 1)

对基函数求导

E B n (x j) = 1, j = n s 1 - p Δ x 2 (p Δ x c 1 - s 1), j = n ± 1 0, e l s e

（8）

E B n' (x j) = 0, j = n ∓ p (c 1 - 1) 2 (p Δ x c 1 - s 1), j = n ± 1 0, e l s e

（9）

E B n ″ (x j) = - p 2 s 1 p Δ x c 1 - s 1, j = n p 2 s 1 2 (p Δ x c 1 - s 1), j = n ± 1 0, e l s e

（10）

记原方程在第m时间层的插值解为

V m (x) = ∑ n = - 1 N + 1 c n m E B n (x)

（11）

结合式（11）及式（8）~（10），得到解函数在各个节点处的离散格式为

V m (x n) = ρ c n - 1 m + c n m + ρ c n + 1 m

（12）

V x m (x n) = - η c n - 1 m + η c n + 1 m

（13）

V x x m (x n) = ρ ¯ c n - 1 m - 2 ρ ¯ c n m + ρ ¯ c n + 1 m

（14）

其中各参数值如下。

ρ = s 1 - p Δ x 2 (p Δ x c 1 - s 1) η = p (c 1 - 1) 2 (p Δ x c 1 - s 1) ρ ¯ = p 2 s 1 2 (p Δ x c 1 - s 1)

1.3 Burgers方程的指数样条格式

对于式（1），在时间方向使用Crank⁃Nicolson离散格式

v n m + 1 - v n m Δ t + (v v x) n m + 1 + (v v x) n m 2 = λ (v x x) n m + 1 + (v x x) n m 2

（15）

式中

v v x

为非线性项，对其线性化

(v v x) n m + 1 = v n m + 1 (v x) n m + v n m (v x) n m + 1 - (v v x) n m

（16）

又记

(v v x) n m + 12 = 12 (v n m + 1 (v x) n m + v n m (v x) n m + 1)

（17）

将式（16）、（17）代入式（15）中

v n m + 1 + Δ t (v v x) n m + 12 - λ Δ t 2 (v x x) n m + 1 = v n m + λ Δ t 2 (v x x) n m

（18）

在内部节点

x n (n = 0,1, ⋯, N - 1)

处，引入如下 Hermite格式。

(v x x) n - 1 m + 10 (v x x) n + 1 m + (v x x) n + 1 m - 12 Δ x 2 (v n - 1 m - 2 v n m + v n + 1 m) = o (Δ x 4)

（19）

将式（19）代入式（18），得

v n m + 1 + Δ t (v v x) n m + 12 + λ Δ t 20 (v x x) n - 1 m + 1 + (v x x) n + 1 m + 1 - 12 Δ x 2 (Δ v n m + 1) = v n m + λ Δ t 20 (v x x) n - 1 m + (v x x) n + 1 m - 12 Δ x 2 (Δ v n m)

（20）

其中，

Δ v n m = v n - 1 m - 2 v n m + v n + 1 m

再将1.2节中式（12）~（14）代入式（20），得到关于

c n m

的递推格式（n=1，2，…，N-1）

a 00 c n - 2 m + 1 + a 1 n c n - 1 m + 1 + a 2 n c n m + 1 + a 3 n c n + 1 m + 1 + a 00 c n + 2 m + 1 = - a 00 c n - 2 m + b 11 c n - 1 m + b 12 c n m + b 11 c n + 1 m - a 00 c n + 2 m

（21）

各参数的值如下。

a 00 = λ Δ t 20 ρ ¯ - 3 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ a 1 n = 1 + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ - λ Δ t 10 ρ ¯ - 3 λ Δ t 5 Δ x 2 + Δ t 2 ρ (v x) n m - Δ t 2 η v n m a 2 n = 1 + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 + λ Δ t 10 ρ ¯ - 6 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ + Δ t 2 ρ (v x) n m - Δ t 2 (v x) n m a 3 n = 1 + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ - λ Δ t 10 ρ ¯ - 3 λ Δ t 5 Δ x 2 + Δ t 2 ρ (v x) n m + Δ t 2 η v n m b 11 = 1 - 6 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ + λ Δ t 10 η + 3 λ Δ t 5 Δ x 2 b 12 = 1 - 6 λ Δ t 5 Δ x 2 - λ Δ t 10 η + 3 λ Δ t 5 Δ x 2

在边界节点

x 0, x N

处，不使用Hermite格式，其离散方程为

ρ - λ Δ t 2 η + Δ t 2 ρ (v x) n m - Δ t 2 ρ ¯ v n m c n - 1 m + 1 + 1 + λ Δ t ρ ¯ + Δ t 2 (v x) n m c n m + 1 + ρ - λ Δ t 2 η + Δ t 2 ρ (v x) n m + Δ t 2 ρ ¯ v n m c n + 1 m + 1 = ρ + λ Δ t 2 η c n - 1 m + (1 - λ Δ t ρ ¯) c n m + ρ + λ Δ t 2 η c n + 1 m

2 理论分析

2.1 初值条件

设给定的初值条件为

v (x n, 0) = φ (x n) v x (x 0, 0) = φ' (x 0) v x (x N, 0) = φ' (x N)

式中

n = 0, 1, 2, ⋯, N

。

设初始向量为

c 0 = [c - 1 0, c 00, c 10, L, c N 0, c N + 1 0] v 0 = [φ' (x 0), φ (x 0), φ (x 1), L, φ (x N), φ' (x N)]

有

A ⋅ c 0 = v 0

，其中

A = - η 0 η ρ 1 ρ ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ρ 1 ρ - η 0 η

2.2 稳定性分析

以常数d代替非线性项

v v x

的

v x

，将式（18）中的C-N格式改写为

v n m + 1 + d Δ t 2 v n m + 1 - λ Δ t 2 (v x x) n m + 1 = v n m - d Δ t 2 v n m + λ Δ t 2 (v x x) n m

（22）

在内部节点处，将式（19）代入式（22），可得

v n m + 1 + d Δ t 2 v n m + 1 + λ Δ t 20 (v x x) n - 1 m + 1 + (v x x) n + 1 m + 1 - 12 Δ x 2 (v n - 1 m + 1 - 2 v n m + 1 + v n + 1 m + 1) = v n m - d Δ t 2 v n m - λ Δ t 20 (v x x) n - 1 m + (v x x) n + 1 m - 12 Δ x 2 (v n - 1 m - 2 v n m + v n + 1 m)

（23）

再将插值解方程带入式（23），可得

p 0 c n - 2 m + 1 + p 1 c n - 1 m + 1 + p 2 c n m + 1 + p 1 c n + 1 m + 1 + p 0 c n + 2 m + 1 = q 0 c n - 2 m + q 1 c n - 1 m + q 2 c n m + q 1 c n + 1 m + q 0 c n + 2 m

（24）

其中各参数的表达式为

p 0 = λ Δ t 20 ρ ¯ - 3 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ p 1 = 1 + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 + d Δ t 2 ρ - λ Δ t 10 ρ ¯ - 3 λ Δ t 5 Δ x 2 p 2 = 1 + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 + λ Δ t 10 ρ ¯ - 6 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ + Δ t 2 d q 0 = - p 0 = - λ Δ t 20 ρ ¯ + 3 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ

q 1 = 1 - 6 λ Δ t 5 Δ x 2 ρ - λ Δ t 10 η + 3 λ Δ t 5 Δ x 2 - Δ t 2 d q 2 = 1 + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 - λ Δ t 10 ρ ¯ + 6 λ Δ t 5 Δ x 2 - Δ t 2 d

权重系数

c n m

的Fourier mode可写成

c n m = A ξ m e - i n θ Δ x

（25）

式中，

A

为谐波振幅。

将式（25）代入式（24），结合欧拉公式整理可得

ξ = 2 q 0 c o s 2 θ Δ x + 2 q 1 c o s θ Δ x + q 2 2 p 0 c o s 2 θ Δ x + 2 p 1 c o s θ Δ x + p 2

不妨取

θ = 0 ，

此时

ξ = 2 q 0 + 2 q 1 + q 2 2 p 0 + 2 p 1 + p 2 < 1

因此原数值格式无条件稳定。

2.3 收敛性分析

参考Hall等^［7］、钱江等^［8］研究三次B样条插值误差的方法，对指数B样条的收敛性进行分析。

记方程在时间

t = T

处的解析解为

v (x, T)

，在指数样条下的插值解为

V (x)

；三次B样条函数的基函数为

B n (x)

，方程在三次B样条下的数值解为

U (x)

，其各阶导数同理。

引理1^［7］设

v (x, T) ∈ C 4 [a, b]

，

[a, b]

的差分为

a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x N = b

，

U (x)

为

v (x)

的三次B样条插值解，则有

(v - U) (r) ∞ ≤ C r Δ x 4 - r v (4) ∞

式中，

r = 0,1, 2,3

；

C 0 = 5384

，

C 1 = 124

，

C 2 = 38

，

C 3 = 1

。

引理2^［9］设

v (x) ∈ C 4 [a, b]

，

[a, b]

的差分为

a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x N = b

，则有

(U - V) (i) ∞ ≤ 263 p 2 Δ x 4 - r U (4 - i) ∞

式中，

i = 0,1, 2

。

由此，可推出如下定理。

定理1 设Burgers方程的精确解为

v (x, t)

，满足

v (x, t) ∈ C 4 [a, b] × [T 1, T 2]

，则上述指数B样条格式在空间上二阶收敛，在时间层

t = T

有

v (x, T) - V (x) ∞ ≤ K Δ x 2

其中

K

为常数。

证明：Crank-Nicolson格式的系统误差为

O (Δ t 2 + Δ x 2)

，由此，将式（15）改写成

v n m + 1 - v n m Δ t + (v v x) n m + 1 + (v v x) n m 2 = λ (v x x) n m + 1 + (v x x) n m 2 + O (Δ t 2 + Δ x 2)

再考虑

v (x) - V (x) ∞ = v (x) - U (x) + U (x) - V (x) ∞ ≤ v (x) - U (x) ∞ + U (x) - V (x) ∞

在节点

(x n, t m)

处，将

U (x)

、

V (x)

分别代入式（18）中

V n m + 1 + Δ t 2 (V n m (V n m + 1) + V n m + 1 (V n m)) - Δ t 2 (V x x) n m + 1 = V n m + Δ t λ 2 (V x x) n m

U n m + 1 + Δ t 2 (U n m (U n m + 1) + U n m + 1 (U n m)) - Δ t 2 (U x x) n m + 1 = U n m + Δ t λ 2 (U x x) n m

相减可得

V n m + 1 - U n m + 1 = - Δ t 2 R 1 + Δ t λ 2 R 2 + Δ t λ 2 R 3 + (V n m - U n m)

则有

V n m + 1 - U n m + 1 ∞ ≤ Δ t 2 R 1 ∞ + Δ t λ 2 R 2 ∞ +

Δ t λ 2 R 3 ∞ + (V n m - U n m) ∞

其中

R 1 = (V x x) n m - (U x x) n m

R 2 = V n m (V n m + 1) x - U n m (U n m + 1) x

R 3 = V n m + 1 (V n m) x - U n m + 1 (U n m) x

结合引理1、引理2，可得

R 1 < C 2 v (4) ∞ + 263 p 2 U (2) ∞ Δ x 2 R 2 < (V n m + 1) x C 0 v (4) ∞ + 263 p 2 U (4) ∞ Δ x 4 + U n m C 1 v (4) ∞ + 263 p 2 U (3) ∞ Δ x 3 R 3 < (V n m) x C 0 v (4) ∞ + 263 p 2 U (4) ∞ Δ x 4 + U n m + 1 C 1 v (4) ∞ + 263 p 2 U (3) ∞ Δ x 3

记

K 1 = - Δ t 2 C 2 v (4) ∞ + 263 p 2 U (2) ∞

K 2 = Δ t λ 2 (V n m + 1) x C 0 v (4) ∞ + 263 p 2 U (4) ∞ Δ x

+

U n m C 1 v (4) ∞ + 263 p 2 U (3) ∞

K 3 = Δ t λ 2 (V n m) x C 0 v (4) ∞ + 263 p 2 U (4) ∞ Δ x

+

U n m + 1 C 1 v (4) ∞ + 263 p 2 U (3) ∞

K = K 1 + K 2 + K 3

由以上分析可知，指数B样条插值格式在定义域内空间方向的误差为

K Δ x 2

，因此全离散格式的误差为

O (Δ x 2 + Δ t 2)

，在空间方向的收敛阶为

Δ x 2

，时间方向的收敛阶为

Δ t 2

。

3 数值验证

定义收敛阶

O C = l n L ∞ (N i) / L ∞ (N i + 1) l n (N i / N i + 1)

给出数值算例如下。

v t + v v x - λ v x x = 0, a ≤ x ≤ b, t > 1 v (x, 1) = x 1 + 1 t 0 e x 2 4 λ v (0, t) = v (1, t) = 0

此方程可求出精确解，其解为

v (x, t) = x / t 1 + e x 2 4 λ t - 1 16 λ t

取λ=0.001，Δt=0.001，Δx=0.005，p=2进行数值计算。图1、图2、图3分别给出了本文数值格式计算所得的数值解图像、方程的精确解图像和误差图像。

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图1 算例数值解

Fig.1 Numerical solution

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图2 算例精确解

Fig.2 Exact solution

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图3 算例误差

Fig.3 Difference between numberical and exact solutions

使用相同时间步长、不同空间步长进行计算，得到收敛阶如表1所示。

表1 λ=0.001，t=0.001时的收敛阶

Table 1 Convergence order of λ=0.001， t=0.001

Δx	L ₂	L _∞	OC
0.02	1.13×10^-2	5.44×10^-2
0.01	1.10×10^-3	9.21×10^-3	2.56
0.005	7.85×10^-5	6.17×10^-4	3.90
0.002 5	2.61×10^-5	1.55×10^-4	1.99

取Δx=0.005，Δt=0.001，在数值格式中分别取不同的参数p，计算其L ₂范数和L _∞范数，得到表2。

**表2 Δx=0.005，Δt=0.001时的L ₂范数和L_∞ 范数**

Table 2 L ₂ norm and L_∞ norm of Δx=0.005， Δt=0.001

p	L ₂/10^-5	L _∞/10^-4
0.012 5	7.849 07	6.170 25
0.5	7.849 16	6.170 34
1	7.849 42	6.170 61
2	7.850 49	6.171 68
10	7.885 01	6.206 08

取p=2，Δt=0.002，分别计算本文格式与不带Hermite格式的数值解和误差的L ₂、L _∞范数，结果如表3所示。

**表3 p=2，Δt=0.002，Δx不同取值时两种格式的L ₂范数和L_∞ 范数**

Table 3 L ₂ norm and L_∞ norm of two formats with different values of Δx when Δt=0.002， p=2

Δx	带Hermite格式		不带Hermite格式
Δx	L ₂	L _∞	L ₂	L _∞
0.002 5	3.26×10^-5	1.91×10^-4	5.01×10^-2	2.02×10^-4
0.005	8.42×10^-5	6.48×10^-4	7.37×10^-2	7.87×10^-4
0.01	1.10×10^-3	9.30×10^-3	1.19×10^-2	2.56×10^-3
0.02	1.13×10^-2	5.44×10^-2	2.01×10^-2	5.23×10^-2

由表3可以看出，当时间步长、空间步长相同时，本文方法所得误差的L ₂范数和L _∞范数基本达到小于不带Hermite格式的指数B样条方法结果，且空间步长越小，L ₂范数的差别越显著。

4 结论

本文基于指数样条方法求解Burgers方程，时间采用Crank⁃Nicolson格式离散，空间采用指数B样条格式离散，并引入Hermite格式提高收敛性。通过理论分析研究了此方法的稳定性和收敛性，并给出算例进行验证。数值实验结果表明指数样条方法具有较好的收敛性。改变参数p可得到一族精度良好的数值格式，使L ₂范数和L _∞范数最小的最优取值在（0，1］区间。

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引言

1 数值格式

1.1 Burgers方程

1.2 矩形区域的指数样条基函数

1.3 Burgers方程的指数样条格式

2 理论分析

2.1 初值条件

2.2 稳定性分析

2.3 收敛性分析

3 数值验证

图1 算例数值解

图2 算例精确解

图3 算例误差

表1 λ=0.001，t=0.001时的收敛阶

表2 Δx=0.005，Δt=0.001时的L 2范数和L∞ 范数

表3 p=2，Δt=0.002，Δx不同取值时两种格式的L 2范数和L∞ 范数

4 结论

References

**表2 Δx=0.005，Δt=0.001时的L ₂范数和L_∞ 范数**

**表3 p=2，Δt=0.002，Δx不同取值时两种格式的L ₂范数和L_∞ 范数**