引言
点阵作为一种先进的结构设计方法，因其在材料科学和工程技术中展现的卓越性能而受到广泛关注。点阵结构的核心优势在于利用周期性排列的单元体在三维空间内构建复杂结构，从而取得优异的强度、刚度与结构轻量化目标［1］，以及显著的能量吸收能力。这些特性使得点阵结构在航空航天［2］、车辆减震等众多领域显示出巨大的应用潜力。特别是在航空航天领域，点阵结构主要应用于夹芯结构板，通过集成特定几何形状的点阵单元，有效提升了夹芯板的机械性能和功能性。并且点阵夹芯结构的设计自由度极高，允许通过精确调整点阵单元的形状、尺寸及排列方式来精确地优化结构性能，以适应特定的工程需求。随着技术的不断进步，诸如Kagome结构［3］、X⁃core结构等新型点阵结构相继被开发，进一步拓展了点阵结构的应用范围和性能界限，为复杂性能要求提供了解决方案。然而，点阵结构的复杂性使其难以采用传统的制造工艺生产。但如增材制造技术（3D打印）［4］等先进制造技术的发展，为点阵夹芯结构板的高效、经济生产提供了解决方案，使得其批量生产和应用成为可能。增材制造技术不仅降低了生产成本，而且大大缩短了从设计到实现的周期，为点阵结构的创新和应用开辟了新路径。
点阵结构凭借其在结构优化方面的显著优势及其与增材制造技术［5］的有效结合，在工程实践中展现出广泛的应用潜力。这种设计方法显著提升了材料的性能和功能性，拓展了其在航空航天及其他关键技术领域的应用［6］。Smith等［7］通过改变点阵单元胞几何形状，尤其是降低单元胞的长宽比，即设计成更高更窄的单元胞，显著提高了结构在压缩载荷下的初始刚度、屈服强度和能量吸收效能。Mazur等［8］的研究表明，不同的拓扑结构设计会对点阵结构的压缩性能产生显著影响，例如：体心立方（BCC）拓扑结构因其良好的延展性，更适合应用于需要经历大变形而不发生断裂的场景；面心立方（FBCC）拓扑结构由于具备较高的侧向刚度，成为吸能结构的理想选择。Li等［9］探讨了多层金属点阵在压缩载荷下的行为特性，研究表明随着层数的增加，点阵的压缩模量和初始压溃强度均有所提高，达到一定层数后趋于饱和；值得注意的是，实验观察到加载方向与内部垂直支柱的相对位置对结构刚度产生了重要影响，当加载方向与支柱轴线平行时，点阵结构倾向于表现出以拉伸为主的变形模式，该发现强调了在设计点阵结构时需考虑加载条件的重要性，为将来的研究提供了有意义的参考。然而，在当前通过增材制造技术制备点阵结构的研究中，仍存在诸如制造精度、材料选择以及结构力学性能等问题，限制了其在实际应用中的推广。
本文针对点阵结构的力学性能，受金刚石晶体优异力学性能的启发，设计了一种仿金刚石单晶体结构的桁架点阵结构，以期为点阵结构的实际应用提供理论支持与实践指导。
1 结构设计
在航空航天工程领域，尤其是在卫星承力板舱的设计中，蜂窝夹芯结构由于其出色的强度-质量比而得到广泛采用［10］。此类结构涵盖了多种不同材料的综合应用，同时也存在一些问题，比如当面临温度变化—无论是由环境变化还是内部热源引起，蜂窝结构的各种组成材料可能会因其不同的热膨胀系数而以不同的速率膨胀或收缩。这种材料性质上的不匹配可能导致结构内部应力的积累，进而对结构的完整性和功能性造成影响。例如，若面板材料的膨胀速率超过蜂窝芯材，可能会引起面板的弯曲，从而影响结构的几何形状和刚性。此外，长期的热循环作用可能会在粘接界面产生应力集中，增加粘接失效或材料脱层的风险。再者，在长期载荷作用下，蜂窝夹芯板可能会经历蠕变现象，导致结构逐渐变形。面板与蜂窝核心之间的粘接界面也可能逐渐失效，进一步影响结构的强度和刚度。
针对蜂窝夹芯结构板存在的上述问题，本文提出一种正四面体杆状结构的点阵夹芯胞元设计，旨在通过模拟自然界中已知最硬材料—金刚石的晶体结构，来优化卫星承力板的结构性能。金刚石属于立方晶系，具有面心立方（FCC）晶格结构，每个碳原子通过sp3杂化轨道与4个最近邻碳原子形成4个共价键，组成一个坚固的三维网络结构。在这种结构中，每个碳原子被4个其他碳原子包围，形成的四面体构型是金刚石硬度极高的根本原因［11］。此外，碳原子在晶体中的密集排列极大地减小了晶体的空隙，从而进一步提升了材料的稳定性和硬度。
2 力学性能理论模型构建
2.1 相对密度
当正四面体杆状点阵夹芯结构受沿z方向的压缩载荷时，考虑到单个胞元的对称性，取一根主支撑臂以及与其构成夹角的辅助支撑臂进行受力分析，如图3所示。
根据几何关系可得胞元的相对密度为
当D 1=D 2时，可简化为
2.2 平压刚度
在所设计胞元结构中，杆件承受压缩力，导致主支撑臂的上端发生向下的竖直位移。假设压缩量为S，即顶胞A沿z轴方向的位移为S。鉴于支撑臂的长径比较大，导致端部与芯胞/顶胞的连接相对较弱。故在计算过程中可只考虑支撑臂的轴力并忽略弯矩的影响，即把支撑臂端部看作铰接［14］。假设支撑臂3的竖直压缩量为Δl 3，支撑臂1、2、3的轴力分别为F 1、F 2、F 3，z轴方向的合外力记为F 0，则由力平衡条件和杆件变形协调公式可得
式中，E s为原材料的弹性模量。令F 0=1 000 N，利用Matlab对上述非线性方程组进行求解，解得S=0.074 mm，则由杆件变形公式可得等效平压模量E eq为
式中，A eq为模型等效横截面面积，代入表1数据解得等效平压模量E eq=262.58 MPa，等效平压刚度E eq A eq=14.19 kN。
2.3 弯曲刚度
在弯曲载荷作用下，夹芯梁产生的挠度由两部分组成，即弯曲变形和剪切变形。文献［15］提供了夹芯梁结构的弯曲总挠度、等效弯曲刚度的计算公式如下。
式中，（EI）eq为夹芯梁的等效弯曲刚度，（EI）s为蒙皮相对于自身中性轴的抗弯刚度，（EI）0为蒙皮相对于夹芯层中性轴的抗弯刚度，（EI）c为内部芯子相对于夹芯层中性轴的抗弯刚度。夹芯梁等效弯曲刚度为蒙皮抗弯刚度、蒙皮移轴抗弯刚度及芯子抗弯刚度之和，三者的计算公式分别如下。
3 力学性能仿真与测试
3.1 有限元建模
为进一步探索受力条件下正四面体杆状点阵夹芯结构的变形机制与应力分布特征，利用Abaqus软件进行平压和三点弯曲数值模拟仿真分析。为保障模拟分析的精确性，采用三维实体模型对点阵夹芯结构及其蒙皮进行有限元建模，并确保点阵夹芯结构模型尺寸与实验样品一致。鉴于实验样品通过选择性激光熔融技术（SLM）实现一体化成型制造，蒙皮与点阵夹芯结构之间形成固定连接，因此，本文采用TIE约束方式来实现蒙皮与点阵芯子间的绑定连接，以确保分析结果的可靠性和与实际情况的吻合度。在模拟计算方面，为优化计算效率并确保计算过程的收敛性，选用动力学显式方法。为进一步节省计算时间，采用质量缩放技术，放大倍数为9倍。通过对比平压和三点弯曲仿真过程中模型的总动能与总内能，验证了在此放大倍数下系统总动能显著低于系统总内能，如图5所示，从而证明了计算过程的高精度及结果的可靠性［16］。
为了确保仿真分析与实验结果的一致性，建立精确的弹塑性分析［17］及材料本构方程［18］至关重要。进行这一过程首先需从实验获取关键的材料属性，如屈服强度、硬化行为和应变率敏感性等。通过将由实验得到的应力-应变数据与本构模型预测的数据作对比，可以对模型参数进行校正。目前比较常用的材料本构模型有Johnson-Cook模型［19］、Ramberg-Osgood模型［20］等。此外，有限元方法也可以用于模拟复杂的加载路径，以验证本构模型的准确性和适用性。考虑到本文实验涉及到结构的较大变形及非线性行为，在仿真设置中引用 Johnson-Cook 模型，并且忽略加载过程中的温度效应，则其材料本构方程可简化如下。
式中，σ为材料在塑性变形阶段的应力；ε为等效塑性应变； 为归一化的塑性应变率，定义为当前实际应变率 与参考应变率 之比；A为材料的初始屈服应力；B为应变硬化模量，表征材料的应变硬化能力；n为应变硬化指数，反映应变硬化的强度；C为应变率敏感系数，表示材料在不同应变率下的应力变化程度［21］。本文所设计的点阵结构采用激光选择性熔融增材制造技术一体化成型，并使用AlSi10Mg合金为原材料。张旭升等［22］基于遗传算法建立了以试验与仿真应力波信号误差最小为优化目标的本构参数反演模型，确定了AlSi10Mg合金的Johnson-Cook本构参数。本文在仿真中采用了文献［22］所确定的本构参数，并进行有限元仿真计算。为了提高仿真过程的稳定性，采用了分步加载的方法，将整体加载过程划分为多个较小的增量。在每个加载步中，施加总位移量的1%。该方法能够有效捕捉材料从弹性阶段到塑性阶段的逐步过渡过程，尤其是在材料应力接近屈服强度时，避免了因加载过快导致的数值不稳定或计算收敛问题，确保材料变形过程的平滑过渡。
3.2 平压力学性能分析
3.2.1 仿真分析
在平压力学性能仿真分析中，考虑到正四面体杆状点阵夹芯结构形状的不规则性和计算的准确性，芯胞和顶胞均选用十结点二阶四面体单元（C3D10）进行网格划分，主支撑臂、辅助支撑臂和上下蒙皮选用八结点线性六面体单元减缩积分（C3D8R）进行网格划分。有限元网格划分模型如图6所示。为防止仿真过程中因模型变形而引发的干涉问题，模型整体定义为通用接触，模型边界条件与实际情况保持一致，下底面设置为固定。为模拟实验加载条件，采用一块解析刚性板来代替万能试验机的平板压头，切向方向摩擦系数设置为0.3，法向方向设置为硬接触。
3.2.2 试验测试结果
如图8所示，可观察到正四面体杆状点阵夹芯结构在加载过程中主要经历了4个变形阶段。初始阶段，当位移量较小时，力与位移之间呈线性关系，此时结构处于线弹性阶段。随着位移的增加，点阵结构中的主支撑臂开始屈服，导致结构抵抗变形的能力显著降低，力值迅速减小。继续加载直至芯胞接触到底部面板，此时载荷主要由竖直方向的辅助支撑臂和芯胞共同承担，结构的承载能力有所恢复，力值随位移的增加再次增加。然而，在加载的后期，竖直方向的辅助支撑臂也逐渐进入屈服状态，结构抵抗变形的能力再次下降，力值再次减小。加载过程末期，点阵结构出现断裂，试验曲线中力的大小趋于0，仿真曲线在该阶段已失真，因此不再作进一步讨论。
根据图8（a）结果，试验与数值仿真过程中观察到的点阵结构的变形趋势表现出较好的一致性，两曲线吻合度较好。并且由应力Mises云图可知，在线弹性变形阶段，支撑臂为主要承力部分，应力分布均匀，证明了结构设计的合理性，其失效形式为支撑臂发生屈服。然而，有限元模型未能考虑到材料制造过程中可能存在的缺陷，这解释了在加载的末期，仿真结果未能重现实验中观察到的点阵结构裂纹形成及最终断裂的情况，导致曲线出现失真。
通过理论推导、数值仿真及试验测试计算得出的等效弹性模量如表3所示。
表3 杆状正四面体结构等效平压模量对比Table 3 Comparison of equivalent flat compression modulus of rod⁃shaped tetrahedral structures |
| 方法 | 数值/MPa | 误差（以试验为基准）/% |
|---|---|---|
| 试验测试 | 285.4 | |
| 理论推导 | 262.58 | 7.92 |
| 数值仿真 | 271.3 | 4.94 |
3.3 三点弯曲力学性能分析
3.3.1 仿真分析
在三点弯曲力学性能仿真分析中，有限元模型的网格化处理操作与第3.2.1节中描述的方法一致，其有限元网格模型如图9所示。模型中的支座和压头均设置为解析刚体以简化计算量，直径和两支座的跨距均与试验装置保持一致。
3.3.2 试验测试结果
表4 杆状正四面体结构等效弯曲弹性模量对比Table 4 Comparison of equivalent bending elastic modulus of rod⁃shaped tetrahedral structures |
| 方法 | 数值/MPa | 误差（以试验为基准）/% |
|---|---|---|
| 试验测试 | 3 212.62 | |
| 理论推导 | 3 490.91 | 8.66 |
| 数值仿真 | 3 365.56 | 4.76 |
比刚度是弯曲刚度与相对密度的比值。基于试验测得的等效弯曲模量和2.1节中计算得到的相对密度，得出正四面体杆状点阵夹芯结构的比刚度为46.97 kN·m/kg。文献［24］中提到的某规格铝合金蜂窝板的比刚度约为50 kN·m/kg，略高于本文正四面体杆状点阵夹芯结构的比刚度。尽管铝合金蜂窝板在比刚度上具有一定优势，但正四面体杆状点阵夹芯结构在比刚度方面仍表现优良，并且在比强度方面表现更为突出。
4 结论
本文以自然界中硬度最大的金刚石晶体结构为参考，构建了一种杆状正四面体点阵结构。针对该结构的等效平压刚度、平压强度和弯曲刚度进行了理论推导，并通过数值仿真和试验测试验证了其中的等效平压弹性模量和等效弯曲弹性模量。结果表明理论推导、数值仿真和试验测试三者结果吻合较好，证明了理论推导和有限元模型设置的准确性。测量结果显示，所设计的卫星承力板结构的平压弹性模量达到285.4 MPa，弯曲弹性模量达到3 212.62 MPa，表现出较好的强度和刚度性能，满足卫星承力结构的力学性能要求。与蜂窝结构的比刚度和比强度的对比结果表明，相对于蜂窝结构，正四面体杆状点阵结构的比刚度略低，比强度提高了4.16%，表明正四面体杆状点阵结构在力学性能上具有一定优势，为卫星主承力板中夹芯结构的设计提供了一种新思路。