引言
带有变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)常被用于系统未来的建模，目前已经被广泛应用于种群生态、神经网络以及激光器动力学等领域。
1 基本假设与模型描述
设$ \left(\varOmega, \mathscr{F}, \left\{\mathscr{F}_{t}\right\}_{t \geqslant 0}, P\right)$ 是一个带有σ流(满足通常条件)的完备概率空间, { B(t)}t≥0是定义在其上的m维布朗运动，{r(t)}t≥0是右连马氏链且独立于{ B(t)}t≥0，S={1, 2，…，N}是其状态空间，Γ=(γij)N×N是其生成算子。
考虑变时滞反馈控制HNSDDE
其中$ \hat{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{N}(\boldsymbol{x}(t-\boldsymbol{\tau}(t)), t, r(t))$ ，且初值满足
其中f, g, N均为Borel可测函数，并且满足
加上反馈控制函数u之后系统变为
其中0≤δ(t)≤δ≤τ, 0≤τ(t)≤τ。假设
为方便起见，简记$ \hat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{N}(\boldsymbol{y}, t, i)$ 。
对$ V(\boldsymbol{x}, t, i) \in C^{2, 1}\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}_{+} \times S ; \mathbb{R}_{+}\right)$ 定义如下算子L
为得到本文主要结论，提出以下假设。
假设1 对任意l＞0，存在Kl＞0，使得对任意i∈S, $ t \in \mathbb{R}_{+}$ ，且$ |\boldsymbol{x}| \vee|\overline{\boldsymbol{x}}| \vee|\boldsymbol{y}| \vee|\overline{\boldsymbol{y}}| \leqslant l$ ，满足
假设2 存在K＞0，m1＞1, m2≥1，使得对∀x, $ \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}, i \in S, t \in \mathbb{R}_{+}$ ，有
假设3 系统(3)中的时滞函数$ \tau: \mathbb{R}_{+} \rightarrow[0, \tau]$ 满足
系统(3)反馈控制函数中的$ \delta: \mathbb{R}_{+} \rightarrow[0, \delta]$ 满足
假设4 存在κ∈(0, 1)使得对∀x, $ \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}, i \in S, t \in \mathbb{R}_{+}$ ，有
并且N(0, t, i)≡0。
假设5 存在常数c1, c2, c3, c4＞0, c2＞c3+c4和函数$ V \in C^{2, 1}\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}_{+} \times S ; \mathbb{R}_{+}\right)$ , U1, U2∈$ C(\mathbb{R} \times \left.[-\tau, +\infty] ; \mathbb{R}_{+}\right)$ , 使得对$ \forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}, i \in S, t \in \mathbb{R}_{+}$ ，有
由文献[7]可得如下引理。
引理1 设假设1~4成立，且假设5对于$ U_{1}(\boldsymbol{x}, t)=|\boldsymbol{x}|^{\bar{w}}$ 成立，那么系统(3)有唯一的全局解，并且满足
由文献[5]中引理2.2以及式(9)可得
引理2 若p≥1，则
2 主要结论与证明
定义片段过程
同理定义${\bar r}$(t)，且令
令$ U \in C^{2, 1}\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}_{+} \times S ; \mathbb{R}_{+}\right)$ 且满足
对于$ t \in \mathbb{R}_{+}$ ，定义
其中ρ＞0，且
对于$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}, i \in S, s \in[-2 \tau, 0)$ ，设
由伊藤公式可得
其中，B(t)是局部鞅，并且B(0)=0。整理式(13)得
其中，
进而易得以下结论。
引理3 $ V(\overline{\boldsymbol{x}}(t), t, \bar{r}(t)), t \geqslant 0$ 是伊藤过程，且有
其中，
假设6 对于函数$ \boldsymbol{u}: \mathbb{R}^{n} \times S \times \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ ，存在实数ai, ${\bar a}$i，正数di, ${\bar d}$i和非负数bi, ${\bar b}$i, ei, ${\bar e}$i(i∈S)，对于任意q1＞1, p＞2有
且
是非奇异M矩阵(具体定义可参考文献[1]中的2.6部分)，并有
其中θi和θi是正数。
需要注意的是，关于控制函数u的选取，考虑如下特殊情况
其中a＞0, b＞c＞0。由于|x|2, |y|2的系数均为正数，因此只能得到原方程的矩有界性，而得不到稳定性。此时可选取u(x, t, i)= Ax，其中矩阵A为实对称正定矩阵，且满足λmax (A)＜－2a，从而
故加上控制项之后的系统指数稳定。
假设7 存在$ U \in C^{2, 1}\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}_{+} \times S ; \mathbb{R}_{+}\right), H \in$ $ C\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}_{+}\right)$ , 及常数0＜α＜1, 0＜β＜λ, 0＜λ1, λ2, λ3, ρ1, ρ2，使得对任意的$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}, i \in S, t \in \mathbb{R}_{+}$ 有
其中，ρ1|x|p+q1－1≤H(x)≤ρ2(1+|x|p+q1－1)。
假设8 存在λ4＞0满足
并且有u(0, t, i)=0。故有$ \forall \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}, \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t, i) \leqslant \lambda_{4} \cdot |\boldsymbol{x}|$ 。
定理1 令${\bar q}$ ∈[2, ${\bar w}$), ${\bar w}$≥2(m1∨m2)。若假设1~8成立，且常数满足
则对任意初值，存在ε＞0使得系统(3)的解满足
其中ε=ε1∧ε2∧ε3∧ε4，ε1, ε2, ε3, ε4分别是以下4个方程的根
特别地，当${\bar q}$=2时有
即满足均方指数稳定。
证明：证明分为两步。
1) 第一步
取k0＞0足够大使得$ \|\varphi\|:=\sup \limits_{-\tau \leqslant s \leqslant 0} \varphi(s)<k_{0}$ 。定义σk=inf {t≥0:| x(t)≥k|}(k≥k0)，且inf ϕ=∞。由引理1和文献[7]，当k→∞，则σk→∞, a.s.根据假设6再定义
由伊藤公式有
取$ h_{1}=\min \limits_{i \in S} \theta_{i}, h_{2}=\max \limits_{i \in S} \theta_{i}, h_{3}=\max \limits_{i \in S} \bar{\theta}_{i}$ ，结合式(12)可得
其中，$ J_{1}\left(t \wedge \sigma_{k}\right)=E \int_{0}^{t \wedge \sigma_{k}} \mathrm{e}^{\varepsilon s}\left(\int_{-\delta}^{0} \int_{s+u}^{s} J(v) \mathrm{d} v \mathrm{~d} u\right) \cdot \mathrm{d} s$ 。
对于式(20)中的$ E\left|\hat{\boldsymbol{x}}\left(t \wedge \sigma_{k}\right)\right|^{2}$ 结合基本不等式可得到
对于式(20)中的$ \mathrm{L} V(\overline{\boldsymbol{x}}(t), t, \bar{r}(t))$ 结合式(14)和假设7有
由假设8运用均值不等式可以得到
定义$ \rho=\frac{\lambda_{4}^{2}}{2 \lambda_{1}(1-\kappa)(1-\kappa(1-\bar{\tau}))}$ ，由定理1中δ满足的不等式知2ρδ2≤λ2, ρδ≤λ3。再由Hölder不等式有
所以有
对于式(20)中的$ E|\hat{\boldsymbol{x}}(t)|^{q_{1}+1}$ 有以下关系式
又由假设7有
所以结合式(20)~(23)有
其中，
易得J1(t∧σk)≤δJ2(t∧σk)。取ε1为ε1ρδ+$ \frac{\lambda_{4}^{2}}{\lambda_{1}}-\rho=0$ 的唯一解，则由ρ的定义知，对任意0＜ε≤ε1，有Π3≤0。结合式(11)，令k→∞，结合式(24), 式(25)化为
其中，
对于Π2，由初值条件、假设2、假设8、引理2和式(12)得$ V(\overline{\boldsymbol{x}}(0), 0, \bar{r}(0))<\infty$ ，并且记为C0, C0为常数。
对于Π4，根据假设3化简有
取ε2为[ε2h3(1+κ(1－τ))p+q1－2ρ1-1](κeε2τ+ 1)+eε2τα－1=0的唯一解，则对任意0＜ε≤ε2以及0＜α＜1即可满足
对于Π5，令ε3为
的唯一解，对任意0＜ε≤ε3，有
综上对任意0＜ε≤ε1∧ε2∧ε3，可得
其中C1是一个常数。
2) 第二步
式(29)经过整理可以得到
由$ \kappa(1-\bar{\tau})<\sqrt{\frac{1}{2}}$ ，令ε4为1－2eε4τκ2(1－τ)2= 0的唯一解，则对任意0＜ε≤ε1∧ε2∧ε3∧ε4，有
即当t∈[0, ∞)时，eεtE|x(t)|2≤C2，即E|x(t)|2≤C2e－εt。
对于任意的${\bar q}$ ∈[2, ${\bar w}$)，由Hölder不等式得到$ E|\boldsymbol{x}(t)|^{\bar{q}} \leqslant\left(E|\boldsymbol{x}(t)|^{2}\right)^{\frac{\bar{w}-\bar{q}}{\bar{w}-2}}\left(E|\boldsymbol{x}(t)|^{\bar{w}}\right)^{\frac{\bar{q}-2}{\bar{w}-2}} $ 。
由引理1知$ C_{3}:=E|\boldsymbol{x}(t)|^{\bar{w}}<\infty$ ，故
所以式(17)成立。特别地，当${\bar q}$=2时，有式(18)成立。
3 例子
考虑一维HNSDDE
其中
显然f, g不满足线性增长条件。
令r(t)为一个连续的马氏链，状态空间S={1, 2}，算子$ \varGamma=\left(\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right), B(t)$ 为标准布朗运动且独立于r(t)。定义初值x(u)=0.2+cos u, u∈[－0.2, 0], r(0)=2。
由文献[10]可知系统(30)不稳定，以下将通过引入一个反馈控制函数使系统稳定。
增加控制函数u(x, t, 1)=－x, u(x, t, 2)=－2x，增加控制函数后系统(3)的具体形式为
其中δ(t)=τ(t)。以下验证假设1~8。
假设1显然成立。令m1=3, m2=2，可知假设2成立。令λ4=2，可知假设8成立。假设3对如下常数成立：δ=τ=0.2, δ =τ =0.1，且假设4对$ \kappa=\frac{1}{9}$ 成立。
取U1(x, t)=V(x, i, t)=|x|6, U2(x, t)=2.2x6+ x8，由Young不等式可得
故假设5对
成立。取p=4, q1=3, 可知假设6成立。取$ U(x, t, i) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^2} + {x^4}, }&{i = 1}\\ {{x^2} + {x^4}, }&{i = 2} \end{array}} \right.$ ，再由Young不等式，令λ1=0.05, λ2=0.1, λ3=4可得
若令H(x)=6(x4+x6), λ=1.845, β=0.369, α=0.955，则假设7成立。根据定理1条件发现κ, τ取值合理，进而可以得到δ≤0.057 6时，定理1所有条件成立，故对∀${\bar w}$ ≥6, ∀${\bar q}$ ∈[2, ${\bar w}$)，存在ε＞0使得
特别地，${\bar q}$ =2时有$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \sup \frac{1}{t} \ln \left(E|x(t)|^{2}\right) \leqslant-\varepsilon$ 。
4 结论
本文采用函数方法，受文献[5]的启发在多项式增长的条件下讨论了变时滞反馈控制下的HNSDDEs的指数稳定性。最后，用一个例子证明了结论的有效性。